哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第六章 特征值、特征向量及相似矩阵

第六章特征值、特征向量及相似矩阵 工程技术中遇到的振动和稳定性问题及第八章中 化二次型为标准形等问题,往往要寻求方程AX=xX 的非零列向量X及数λ,其中A为n阶方阵,这里的 数λ称为方阵A的特征值,非零向量X称为属于A的 对应于特征值λ的特征向量。矩阵的特征值与特征向量 在实际问题中有许多应用,它们是线性代数中的两个 重要的基本概念。 哈工大数学系代数与几何教研室

第六章 特征值、特征向量及相似矩阵 工程技术中遇到的振动和稳定性问题及第八章中 化二次型为标准形等问题，往往要寻求方程 AX=  X 的非零列向量 X 及数 ，其中 A 为 n 阶方阵，这里的 数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 X称为属于 A 的 对应于特征值 的特征向量。矩阵的特征值与特征向量 在实际问题中有许多应用，它们是线性代数中的两个 重要的基本概念

本章主要研究如下几个问题 (1)矩阵的特征值与特征向量; (2)实对称矩阵的特征值与特征向量及性质; (3)相似矩阵与矩阵的对角化 (4)实对称矩阵的相似正交对角化 6.1矩阵的特征值与特征向量 6.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 定义61设A为元素属于数域P的n阶方阵,如果存在 数域P中的数与元素属于P的n维非零列向量X, 使得 AXaX哈工大数着1珍(立几何教研室

本章主要研究如下几个问题： （1） 矩阵的特征值与特征向量； （2） 实对称矩阵的特征值与特征向量及性质； （3） 相似矩阵与矩阵的对角化 （4） 实对称矩阵的相似正交对角化 6．1 矩阵的特征值与特征向量 6．1．1 矩阵的特征值与特征向量的概念 定义 6.1 设 A 为元素属于数域 P 的 n 阶方阵，如果存在 数域 P 中的数 与元素属于 P 的 n 维非零列向量 X, 使得 AX= X （1）成立

则称λ为方阵A的特征值,非零向量X称为属于A的 对应于特征值λ的特征向量。 例如,对任意n维非零列向量X,都有EX=1X, 所以1是En的特征值,任意n维非零列向量X都为单 位阵En的对应于特征值1的特征向量。 注:定义51中的(1)可以写成 (n-A)X=0 这是n个未知数n个方程的齐次方程组,它有非 零解的充要条件是 AEn=0哈工大数予代数与几何教研室

定义62设矩阵A=(a1)nxn λ 称E-A 21 2n 为矩阵A的特征多项式。 并称En4=0为A的特征方程对A的特征值 称方程组(En-4X=0的解空间N(En-4 为A的关于特征值λ的特征子空间。 哈工大数学系代数与几何教研室

例1A=1-11的特征多项式为 LE-A 12+1-1|=(-1)(+2), 12+ A+1-1 特征方程为E-4=-12+1 (2-1(2+2)2=0 1-12+ 注1显然,A的特征值就是En-A=0的解(根), 注2特征值λ.对应的特征向量就是方程组 (En-4)X=0的非零解最学系代数与几何教研室

6.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 求矩阵的特征值与特征向量的步骤: (1)计算矩阵A的特征多项式 AE,-A=(1-)2-4)…(2-0); (2)由特征方程En-A=0得所有 根 1,2,…,,即为矩阵A的特征值; (3)对A的不同特征值λ, 解方程组(E-A)X=0得基础解系a1,a2,…,a 基础解系中向量的线性组含大数学系代数与几何教研室

a=ka1+k2a2+…+k,an(k1,k2,…,k,不同时为零) 即为λ的全部特征向量 例2求A 11的特征值与特征向量 解(1)A的特征多项式为 +1 LE-A +1-1=(-1)(+2)2 12+1 所以,A的特征值为A=1,2=3=-2 哈工大数学系代数与几何教研室

r r   k11  k2 2  k  r (k , k , , k 1 2  不同时为零） 即为i 的全部特征向量

(2)对A1=1,解方程组(E3-A)X=0,由 0 E-A=-12-101-1 000 得通解X=x1(x2∈R),基础解系为51=1 所以A的对应于特征值=1的全部特征向量为 1(x3≠0) 哈工墩学系代数与几何教研室

对A2=-2,解方程组(-2E3-A)X=0,由 2E }:1 得通解X 0( R) 0 基础解系为 哈工大数学系代数与几何教研室

所以A的对应于特征值a2=-2的全部特征向量为: X=x1+x0(x2,x不同时为零) 例3求A=101的特征值与特征向量 解(1)A的特征多项式为 AE-A=-12-1=(-2)(+1) 所以,A的特征值为22数乎索代爱与几何教研室