《线性代数》课程教学资源（考题及答案）2000年秋季考题及答案测试3答案

数学1806测试3解答 1.(30分) A= SAS 010 1200 10 001 01 100 10 01 b 16 0001「1-6 068 4 010010010 001001001 001 (c)B的特征值必定都是1。设B有若当型s11 且B MJM-1。则Bn=MJM-1,J= n 01 其不收敛。因此仅当B MⅠM-1时B才有若当型I,除此外B不可能有若当型

￾ ✁ 1806 ✂ ✄ 3 ☎✆ 1. ✝ 30 ✞✠✟ ✝ a ✟ A = SΛS −1 =    1 6 8 0 1 0 0 0 1       1 2 0 0 0 1 0 0 0 1       1 −6 −8 0 1 0 0 0 1    ✝ b ✟ A ∞ =    1 6 8 0 1 0 0 0 1       0 0 0 0 1 0 0 0 1       1 −6 −8 0 1 0 0 0 1    =    0 6 8 0 1 0 0 0 1    ✝ c ✟ B ✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏☞✑☞✒ 1 ✓✕✔ B ✖☞✗✙✘✛✚ J = " 1 1 0 1 # ✜✕✢ B = MJM−1 ✓✕✣ Bn = MJ nM−1 , J n = " 1 n 0 1 # ✜✕✤✦✥✦✧✦★✓✪✩✬✫✦✭✮✘ B = MIM−1 ✯ B ✰✛✖☞✗✙✘✛✚ I ✜✕✱✫☞✲ B ✥☞✳☞✴✖☞✗✙✘✛✚☞✓ 1

a)S-1=S,因此A=SAST是对称的。奇异值非负,因此由A=∑(A 的特征值)是非负的,知A是对称且半正定。它可能是奇异的(零矩阵是一个例 子) (b)一个投影矩阵的特征值是1或0,且它们的和是2,因此其特征值必 定为1,1,0。例如 0 01212 (c)A4=/250 因此奇异值是5和7。有 01 和 70 01 05 00 d)1.A的特征值是1,1,2,和B的特征值相同 2.A不一定可对角化。 3.A不一定是对称的 4.给定A的特征值是正的,它也不一定是对称的,因此A不一定是正定

2. ✝ 40 ✞✠✟ ✝ a ✟ S −1 = S T ✜ ✩✵✫ A = SΛS T ✒✷✶✷✸✷✡✷✓✺✹✷✻✷✍✽✼✷✾ ✜ ✩✵✫✽✿ Λ = Σ(A ✡☞☛☞✌☞✍) ✒✙✼☞✾✛✡ ✜❁❀ A ✒☞✶☞✸✢☞❂☞❃✏☞✓❁❄ ✳☞✴✒☞✹☞✻☞✡❅✝❇❆☞❈✙❉✛✒☞❊☞❋☞● ❍ ✟■✓ ✝ b ✟❏❊☞❋☞❑☞▲☞❈✙❉✛✡☞☛☞✌☞✍☞✒ 1 ▼ 0 ✜◆✢❄☞❖☞✡☞P☞✒ 2 ✜ ✩✛✫✤☛☞✌☞✍☞✎ ✏☞◗ 1,1,0 ✓✕●☞❘    1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2    ✝ c ✟ AT A = " 25 0 0 49 # ✩✛✫☞✹☞✻☞✍☞✒ 5 P 7 ✓✕✖ V = " 0 1 1 0 # P A =    0 3 5 − 4 5 0 4 5 3 5 1 0 0       7 0 0 5 0 0    " 0 1 1 0 # ✝ d ✟ 1.A ✡☞☛☞✌☞✍☞✒ 1,1,2 ✜ P B ✡☞☛☞✌☞✍☞❙✙❚✛✓ 2.A ✥ ❊☞✏✳✶✙❯✛❱☞✓ 3.A ✥ ❊☞✏☞✒☞✶☞✸☞✡☞✓ 4. ❲✦✏ A ✡✦☛✦✌✦✍✦✒❃ ✡ ✜ ❄✦❳✥ ❊✦✏✦✒✦✶✦✸✦✡ ✜ ✩✬✫ A ✥ ❊✦✏✦✒❃ ✏ ✡☞✓ 2

(a)特征值是0,√2i,-√2。因为A是反对称的,它们都是纯虛数(包 括零) (b)通解是矿(T)=c1x1+ce2Tx2+e-2Tz3 (c)e°=cos+isin0。这个函数周期为2丌。因此当√2T=2nx时 有矿(T)=矿(0)。特别地T可为2r

3. ✝ 30 ✞✠✟ ✝ a ✟❨☛☞✌☞✍☞✒ 0, √ 2i, − √ 2i ✓✪✩✛◗ A ✒☞❩☞✶☞✸☞✡ ✜ ❄☞❖☞✑☞✒☞❬☞❭☞❪❫✝❵❴ ❛ ❆✠✟■✓ ✝ b ✟❨❜☞❝☞✒ →−u (T) = c1→−x 1 + c2e √ 2iT→−x 2 + e − √ 2iT→−x 3 ✓ ✝ c ✟ e iθ = cos θ + isin θ ✓✕❞☞❋☞❡☞❪☞❢☞❣☞◗ 2π ✓✪✩✛✫✙✘ √ 2T = 2nπ ✯ ✖ →−u (T) = →−u (0) ✓✕☛☞❤☞✐ T ✳ ◗ √ 2π ✓ 3