微积分_例题解-9

x-1x0 0 所以fx)在点x=0处不连续,从而在点x=0处也不可导 因为 lim f(x)=lim 2x=2, lim f(x)=lim(x+1=2 1 x-)l+ 所以lmf(x)=f(1)=2,因此f(x)在点x=-1处连续 x→ 页结束 下页

上页 结束 下页 解 例 9 讨论函数      +     −  = 1 1 2 2 0 1 1 0 ( ) 2 x x x x x x f x 在点 x=0 及 x=1 处 的连续性与可导性 (1)连续性 lim ( ) lim 2 0 (0) 0 0 f x x f x x = =  → + → +  所以 f(x)在点x=0处不连续 从而在点x=0处也不可导 lim ( ) lim 2 0 (0) 0 0 f x x f x x = =  → + → + lim ( ) lim 2 0 (0)  0 0 f x x f x x = =  → + → +  因为 lim ( ) lim 2 2 1 1 = = → − → − f x x x x  lim ( ) lim ( 1) 2 2 1 1 = + = → + → + f x x x x  所以lim ( ) (1) 2 1 = = → f x f x  因此 f(x)在点 x=1 处连续 因为f(0)=−1而 lim ( ) lim 2 2 1 1 = = → − → − f x x x x  lim ( ) lim ( 1) 2 2 1 1 = + = → + → + f x x x x  所以lim ( ) (1) 2 1 = = → f x f x  因此 f(x)在点 x=1 处连续

x-1x0 △x Ax→>0-△x f(=lim 1+Ax2+1-21m2Ax+(Ax)2 2 △x->0+ △x △x->0 △ f(1)=f(1), 所以在点x=1处f(x)可导,且f'(1)=2 上页 结束 下页

上页 结束 下页 解 例 9 讨论函数      +     −  = 1 1 2 2 0 1 1 0 ( ) 2 x x x x x x f x 在点 x=0 及 x=1 处 的连续性与可导性 因为 2 2 lim 2(1 ) 2 (1) lim 0 0 =   =  + −  = − → −  →  − x x x x f x x  2 2 ( ) lim [(1 ) 1] 2 (1) lim 2 0 2 0 =   +  =  + + −  = + → +  →  + x x x x x f x x  (1) (1) − + f  = f   所以在点x=1处f(x)可导 且f (1)=2 (2)可导性 因为 f(x)在点x=0处不连续所以f(x)在点x=0处也不可导 2 2 lim 2(1 ) 2 (1) lim 0 0 =   =  + −  = − → −  →  − x x x x f x x  2 2 ( ) lim [(1 ) 1] 2 (1) lim 2 0 2 0 =   +  =  + + −  = + → +  →  + x x x x x f x x  结束