《线性代数》课程教学资源（考题及答案）2000年秋季考题及答案测试2答案

1806考试2解答 1(36分) gi=v-(iu)qi-(20)g2-(930)g3 q 194 (b)Q的零空间是0(Q的每一列有一主元),QT的零空间是1维的且由 q4的倍数组成(因为q4正交于q1,q和q3 QrQ=I的零空间也是0。QQ的零空间也是1维的,并且由q4的倍 数组成 (c)QQE=Qb q(q1+2g2+3q3+4g4) 1 =g2(q+2g+33+4) 2 q3(q1+2q+3q3+4q4) 投影p=Qx=q1+2q2+3q

1806 ￾✁ 2 ✂✄ 1 ☎ 36 ✆✞✝ (a) q ∗ 4 = v − (q T 1 v)q1 − (q T 2 v)q2 − (q T 3 v)q3 q4 = q ∗ 4 kq ∗ 4 k (b)Q ✟✡✠☞☛✡✌✎✍ 0 ☎ Q ✟✡✏✡✑✡✒✡✓✡✑✡✔✡✕✖✝✘✗ QT ✟✡✠☞☛✡✌✎✍ 1 ✙✡✟✡✚☞✛ q4 ✟✢✜✢✣✢✤✢✥✦☎★✧✪✩ q4 ✫✢✬✢✭ q1, q2 ✮ q3 ✝✰✯ QTQ = I ✟✡✠☞☛✡✌✎✱✡✍ 0 ✯ QQT ✟✡✠☞☛✡✌✎✱✡✍ 1 ✙✡✟✡✗✳✲✡✚☞✛ q4 ✟✡✜ ✣✢✤✢✥✢✯ (c)QTQx = QT b =⇒ x = QT b ✗✴✧✪✵ x =    q T 1 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4) q T 2 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4) q T 3 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4)    =    1 2 3    ✶✢✷ p = Qx = q1 + 2q2 + 3q3 ✯ 1

2(24分)(a) 3x=5 K 当b在A的列空间中时,方程Ax=b恰好有一解。此时K=7 3 (b)当b在A′的零空间中时,=0是方程的最小二乘解,如果5 在AT的零空间中,则K=-8或K=-21/4。这是不可能的

2 ☎ 24 ✆✞✝ (a)    1 2 1 3 1 4    x =    3 5 K    ✸ b ✹ A ✟✢✒✺☛✢✌✢✻✪✼✢✗✳✽✢✾ Ax=b ✿✢❀✢✓✢✑✢❁✢✯✳✵✢✼ K=7 ✯ (b) ✸ b ✹ AT ✟✡✠☞☛✡✌✡✻✎✼✡✗ x¯ = 0 ✍✡✽✡✾✡✟✡❂✡❃✡❄✡❅✡❁✡✗✳❆✡❇    3 5 K    ✹ AT ✟✢✠✺☛✢✌✢✻✪✗✳❈ K = −8 ❉ K = −21/4 ✯✳❊✢✍✢❋✢●✢❍✢✟✢✯ 2

3(40分)(a)行列式=原行列式+a14的代数余子式 P得,(dlet(P)2=det(P),因此,det(P)=0或det(P)=1 (c)利用第一行的代数余子式展开, det(C)=(-b)(-b)(a2-b2)+(-a)(a)(a2-b2)=-(a2-b2)2

3 ☎ 40 ✆✞✝ (a) ■✢✒✢❏ = ❑✢■✢✒✢❏ +a14 ✟✢▲✢✣✢▼✢◆✢❏✢✯ (b) ✛ P 2 = P ❖P✗ (det(P))2 = det(P) ✗◗✧❘✵P✗ det(P) = 0 ❉ det(P) = 1 ✯ (c) ❙✢❚✺❯✪✑✢■✢✟✢▲✢✣✢▼✢◆✢❏✢❱✢❲✢✗ det(C) = (−b)(−b)(a 2 − b 2 ) + (−a)(a)(a 2 − b 2 ) = −(a 2 − b 2 ) 2 . 3