《线性代数》课程教学资源（考题及答案）2000年秋季考题及答案测试2

806 Strang教授测试2 000-10-30 选择助教 1) M2 2-131 Holm 2-181 3-3665 tsh @math ) M2 2-132 Dumitriu 2-333 3-7826 dumitriu@math 3 M3 2-131 Holm 2-181 3-3665 tsh@math T10 2-132 Ardila 2-333 3-7826 fardila @math 5) T10 2-131 Czyz 2-342 3-7578 czyz@math )T112-131Ba 2-229 3-1589 bauer@math 7) Tll 2-132 Ardila 2-333 3-7826 fardila @math 8)T122-132Czyz2-34237578czyz@math 9) T12 2-131 Bauer 2-229 3-1589 bauer@math 10) T1 2-132 Ingerman 2-372 3-4344 ingerman @math 11) T1 2-131 Nave 2-251 3-4097 nave@math 12) T2 2-132 Ingerman 2-372 3-4344 ingerman@math 13)T22-150Nave2-2513-4097 nave@math

1806 Strang ￾✁ ✂ ✄ 2 2000-10-30 ☎✝✆✝✞ ✟✝✠✝✡✝☛✝☞✞ 1) M2 2-131 Holm 2-181 3-3665 tsh@math 2) M2 2-132 Dumitriu 2-333 3-7826 dumitriu@math 3) M3 2-131 Holm 2-181 3-3665 tsh@math 4) T10 2-132 Ardila 2-333 3-7826 fardila@math 5) T10 2-131 Czyz 2-342 3-7578 czyz@math 6) T11 2-131 Bauer 2-229 3-1589 bauer@math 7) T11 2-132 Ardila 2-333 3-7826 fardila@math 8) T12 2-132 Czyz 2-342 3-7578 czyz@math 9) T12 2-131 Bauer 2-229 3-1589 bauer@math 10) T1 2-132 Ingerman 2-372 3-4344 ingerman@math 11) T1 2-131 Nave 2-251 3-4097 nave@math 12) T2 2-132 Ingerman 2-372 3-4344 ingerman@math 13) T2 2-150 Nave 2-251 3-4097 nave@math 1

1(36分)设Q是4×3矩阵,且Q的列向量q,q2,q3标准正交。 (a)给定一个不属于Q的列空间的向量,通过对q1,g2,q3,υ进行Gram- Schmidt正交化,写出第四个标准正交向量q4 (b)写出Q的零空间和Q的零空间(提示:即便未完成(a),你也可以对 (b)作答)。然后再写出QQ和QQ的零空间 (c)设b=q1+2q+3q3+4q4。求Qx=b的最小二乘解正。并求出b在Q 的列空间上的投影p

1 ✌ 36 ✍✏✎✒✑ Q ✓ 4×3 ✔✖✕✘✗✚✙ Q ✛✝✜✖✢✘✣ q1, q2, q3 ✤✝✥✝✦✝✧✝★ (a) ✩✝✪✝✫✝✬✝✭✝✮✝✯ Q ✛✝✜✖✰✝✱✘✛✖✢✘✣ v ✗✚✲✝✳✝✴ q1, q2, q3, v ✵✝✶ Gram￾Schmidt ✦✝✧✝✷✗✹✸✝✺✝✻✘✼✝✬✤✝✥✝✦✝✧ ✢✘✣ q4 ★ (b) ✸✽✺ Q ✛✽✾✿✰✽✱❁❀ QT ✛✽✾✿✰✽✱❂✌❄❃✽❅✞✹❆❁❇✽❈✿❉❁❊ (a) ✗✚❋✽●✽❍✿■❁✴ (b) ❏✝❑✏✎ ★✚▲✝▼✝◆ ✸✝✺ QTQ ❀ QQT ✛✝✾✖✰✝✱ ★ (c) ✑ b = q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4 ★✚❖ Qx=b ✛✝P✝◗✝❘✝❙✝❚ x¯ ★✚❯✝❖ ✺ b ❱ Q ✛✝✜✖✰✝✱✘❲✝✛✝❳✝❨ p ★ 2

(a)用最小二乘法求方程Ax=b,使得方程Ax=b是过点(,b)=(2,3),(3,5)和 (4K)的最佳拟合直线;是否存在K,使得方程Ax=b有确切解。 (b)对一般的A,B,在什么条件下,是方程Ax=b的最小二乘解?以(a) 为例,回答是否彐K,s.t.=0是方程Ax=b的最小二乘解,并证明之

2 ✌ 24 ✍✏✎ (a) ❩✝P✝◗✝❘✝❙✝❬❖✝❭✝❪ Ax=b ✗❁❫✝❴❭✝❪ Ax=b ✓✝✳✝❵ (t,b)=(2,3),(3,5) ❀ (4,K) ✛✝P✝❛✝❜✝❝✝❞✝❡✝❢✚✓✝❣✝❤✝❱ K ✗✚❫✝❴❭✝❪ Ax=b ✐✝❥✝❦✝❚★ (b) ✴✽✫✽❧✽✛ A,B, ❱✽♠✿♥❁♦✽♣✽q✽✗ x¯ ✓❭✽❪ Ax=b ✛✽P✽◗✽❘✽❙✽❚srt■ (a) ✉✝✈✗✹✇✘❑✝✓✝❣ ∃K,s.t.x¯ = 0 ✓❭✝❪ Ax=b ✛✝P✝◗✝❘✝❙✝❚✝✗ ❯✝①✖②✘③✝★ 3

(a)设A是4×4矩阵,如果元素a14的值增加1,行列式的值有什么变化? (b)试解铎为什么每个投影矩阵的行列式都是0或1 (c)求循环矩阵A= 0b0 0a0的行列式

3 ✌ 40 ✍✏✎ (a) ✑ A ✓ 4×4 ✔④✕⑤✗⑦⑥⑨⑧⑨⑩⑨❶ a14 ✛⑨❷⑨❸⑨❹ 1 ✗⑦✶⑨✜⑨❺⑨✛⑨❷⑨✐⑨♠④♥⑤❻✷ r (b) ❼✝❚✝❽✉ ♠✖♥✘❾✝✬✝❳✝❨✝✔✖✕✘✛✝✶✝✜✝❺✝❿✝✓ 0 ➀ 1 ★ (c) ❖✝➁✝➂✔✖✕ A=      0 b 0 a a 0 b 0 0 a 0 b b 0 a 0      ✛✝✶✝✜✝❺★ 4