数学分析：微积分的基本定理和基本公式（电子教案）

电子教案2:微积分的基本定理和基本公式 、教学目的:让学生了解定积分与不定积分之间的联系,用牛顿莱布尼兹公式 计算定积分 、教学要求:掌握微积分基本定理与微积分基本公式(N-L公式),注意NL 公式的运用条件。 、教学内容 §4定积分的计算 在第一节中,我们讲过用定积分定义计算定积分但其计算过程比较复杂,所以 不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的 方法 1.定理若∫(x)在[ab]连续,则函数(x)=J/(h在[b可导,且 (x)=f(x) 证明:显然,G(x+△x)=(),于是 G(x+Ar)-g(x)[x+Ar 厂f()d-f(r) f(tdt 有积分中值定理知道,在x与x+△x之间必存在一点ξ使 f()d=f()△ 于是 G(x+△x)-G(x) f(5) 对上式两端取极限△x→0,于是x+Ax→x,由于5在x与x+Ax之间,所以这 时必定ξ→x,于是 linG(x+A)-G(x)≠limf(2)=limf(5)=f()这就证明了G(x)可导且 基本公式设f(x)在[a小]上连续,F(x)是f(x)的任意一个原函数,即

电子教案 2：微积分的基本定理和基本公式 一、教学目的：让学生了解定积分与不定积分之间的联系，用牛顿莱布尼兹公式 计算定积分。 二、教学要求：掌握微积分基本定理与微积分基本公式（N-L 公式），注意 N-L 公式的运用条件。 三、教学内容 §4.定积分的计算 在第一节中，我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以 不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的 方法。 1．定 理 若 f x( ) 在 a b,  连 续 ， 则函 数 ( ) ( ) x a G x f t dt =  在 a b,  可导，且 G x f x ( ) ( ) = 。 证明：显然， ( ) ( ) x x a G x x f t dt + +  =  ，于是 G x x G x ( ) ( ) x +  −  = 1 ( ) ( ) x x x x a a f t dt f t dt +    −       = 1 x ( ) x x x f t dt +  有积分中值定理知道，在 x 与 x x + 之间必存在一点  使 ( ) ( ) x x x f t dt f x  + =   于是 G x x G x ( ) ( ) x +  −  = f ( )  对上式两端取极限  →x 0 ，于是 x x + → x ，由于  在 x 与 x x + 之间，所以这 时必定  → x ，于是 0 lim →x G x x G x ( ) ( ) x +  −  = 0 lim →x f ( )  = lim  →x x f ( )  = f ( )  这就证明 了 G x( ) 可导 且 G x f x ( ) ( ) = 基本公式 设 f x( ) 在 a b,  上连续， F x( ) 是 f x( ) 的任意一个原函数，即

F(x)=(x,那末∫()=F(b)-F(a) 证明由上面的定理知道,G(x)=丁()h是f(x)的一个原函数,由于同 函数的任意两个原函数只能相差一个常数,所以F(x)=G(x)+C或 F(x)= f(ndt+C 其中C是一个常数由于Ga)=J(=0,从而有∫f(x=G(b)=G(b) G(a)=(F(b)-C)-(F(a)-C)=F(b)-F(a) 常用F(x表示F(b)-F(a),于是定积分的公式可写为f(x=F(x 这个公式也叫牛顿一莱布尼兹( Nowton- Leibniz)公式。 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来,从而把求定积分 f(xkx的问题化为求f(x)的原函数的问题 例1求[e2 解因 dx=e2d(2x)=e2+C 故e2有一个原函数e2,于是由积分基本公式 (e-1) 例2求一几女 解因为∫ x d(x)_2rd(1+x2)_1 1+x22J√1+ 有一个原函数为(1+x),所以 x 1√1+x2

F x f x '( ) ( ) = ，那末 ( ) b a f x dx  = F b F a ( ) ( ) − 证明 由上面的定理知道， ( ) ( ) x a G x f t dt =  是 f x( ) 的一个原函数，由于同 一函数的任意两个原函数只能相差一个常数，所以 F x( ) = G x( ) + C 或 F x( ) = ( ) x a f t dt  + C 其中 C 是一个常数。由于 G a( ) = ( ) a a f t dt  =0，从而有 ( ) b a f x dx  =G b( ) =G b( ) －G a( ) ＝( ( ) ) ( ( ) ) F b C F a C − − − = F b( )－ F a( ) 常用 ( ) b a F x 表示 F b( )－ F a( ) ，于是定积分的公式可写为 ( ) b a f x dx  ＝ ( ) b a F x 这个公式也叫牛顿－莱布尼兹（Nowton-Leibniz）公式。 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分 ( ) b a f x dx  的问题化为求 f x( ) 的原函数的问题。 例１ 求 1 2 2 0 x e dx  解 因 2x e dx  ＝ 1 2 (2 ) 2 x e d x  ＝ 1 2 2 x e C+ 故 2 x e 有一个原函数 1 2 2 x e ，于是由积分基本公式 1 2 2 0 x e dx  = 1 2 2 0 1 1 ( 1) 2 2 x e e = − 例 2 求 2 0 2 1 x dx + x  解 因为 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 (1 ) 1 1 1 2 2 xdx d x d x x x x + = = + + +  = 1 1 2 2 2 2 1 2(1 ) (1 ) 2 + + = + + x C x C 即 1 2 2 2 0 (1 ) 5 1 + = − x 2 1 x + x 有一个原函数为 1 2 2 (1 ) + x ，所以 2 0 2 1 x dx + x  = 1 2 2 2 0 (1 ) 5 1 + = − x

例3汽车以每小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a=1.8米秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时,汽车速度v=32公 里/小时=32×10米秒。888米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 3600 v(t)=V-at=88818t当汽车停住时,速度v(t)=0,故从v(t)=888-1.8t=0解得 8.88 ≈493秒 于是在这段时间内汽车所走过的距离是 s=(M=0(8818=(88386219米即在刹车后汽 车需走过21.90米才能停住 四、重点和难点 积分上限函数的求导以及牛顿一莱布尼兹( Nowton- Leibniz)公式的应用 五、提出的问题和思考题 1、下面的积分过程是否正确 2、求「edh的导数 六、课外作业:P300习题1.(10)一(15)

例 3 汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时，汽车速度 0 v =32 公 里 /小 时 = 32 1000 3600  米 /秒  8.88 米 /秒 , 刹 车 后 汽 车 减 速 行 驶 , 其速度为 0 v v a (t)= t=8.88-1.8t − 当汽车停住时 , 速 度 v(t)=0 , 故 从 v(t)=8.88-1.8t=0 解 得 8.88 t= 4.93 1.8  秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.93 4.93 0 0 s v dt dt = = − (t) (8.88 1.8t)   = 4.93 2 0 1 (8.88 1.8 t ) 21.90 2 −   米,即在刹车后,汽 车需走过 21.90 米才能停住. 四、 重点和难点 积分上限函数的求导以及牛顿－莱布尼兹（Nowton-Leibniz）公式的应用。 五、 提出的问题和思考题 1、下面的积分过程是否正确 1 1 2 1 1 1 1 dx 0 − x x − = − =  2、求 1 2 cos t x e dt −  的导数 六、课外作业：P300 习题 1.（10）—（15）