西北工业大学网络教育学院：《统计学》课程PPT教学课件（统计推断4/5 - 区间估计）

124区间估计 学习目标 理解区间估计的概念,置信度与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间

12.4 区 间 估 计 学 习 目 标 理解区间估计的概念，置信度与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间

问题的提出: 点估计法只能给出参数的的一个近似值6 但无法判断b的精确程度 由一组样本值可以得到一个估计值日,但样 本值是随机的,因而6也是随机的.哪一个样本 值算出的近似值更接近真值,也无法判断 希望通过样本确定一个包含真值的区间 (,6),同时给出该区间包含真值的可靠程度 这种形式的参数估计方法称为区间估计

. ˆ ˆ 但无法判断 的精确程度 点估计法只能给出参数 的一个近似值 ，    问题的提出： . . ˆ , ˆ 值算出的近似值更接近真值，也无法判断 本值是随机的 因而 也是随机的 哪一个样本 由一组样本值可以得到一个估计值 ，但样   ( , ) , 同时给出该区间包含真值 的可靠程度 . 希望通过样本确定一个包含真值 的区间     这种形式的参数估计方法称为区间估计

1241置信区间与置信度 定义127设6是总体分布的一个未知参数, x1,x2,…,xn是总体的一个样本,对于给定 的0<a<1,能确定两个统计量(x1,x2,…,xn, 和(x1,x2,…,xn),使得 P(<6<6)=1-a 则称区间(,6)为参数e的1-a置信区间,1-a 称为置信度

12.4.1 置信区间与置信度 称为 则称区间 为参数 的 和 使得 的 能确定两个统计量 是总体的一个样本，对于给定 设 是总体分布的一个未知参数，              − −   = −   ( , ) 1 , 1 ( ) 1 ( , , , ), 0 1 , ( , , , ), , , , 1 2 1 2 1 2 P x x x x x x x x x n n n    定义 12.7 置信区间 置信度

置信度和置信区间的意义: 由于样本的随机性,置信区间也是随机的 置信度1-a给出了参数估计的把握性,是参数 估计的可靠概率.c表示参数估计不准的概率 以a=0.5为例,在重复的抽样中,例如取 100组容量为n的样本观察值,确定了100个 的置信度为095的置信区间,大约有95个区间 包含有θ的真值

. 0.95 , 95 100 , 100 0.5 , , 包含有 的真值 的置信度为 的置信区间 大约有 个区间 组容量为 的样本观察值 确定了 个 以 为例 在重复的抽样中 例如取    n = . . 1 , , . 估计的可靠概率 表示参数估计不准的概率 置信度 给出了参数估计的把握性 是参数 由于样本的随机性 置信区间也是随机的  − 置信度和置信区间的意义:

两点说明: 1.区间估计没有给出参数的估计值 2.置信区间越长,置信度越大,包含参数 的概率越大,但误差越大.置信区间越短,误 差可能会越小,但是包含参数的概率也越小, 置信度越低 因此,要在保证一定置信度的条件下,建 立尽可能小的置信区间

1. 区间估计没有给出参数的估计值 . . , , , . , 2. , , 置信度越低 差可能会越小 但是包含参数的概率也越小 的概率越大 但误差越大 置信区间越短 误 置信区间越长 置信度越大 包含参数 两点说明: . , , 立尽可能小的置信区间 因此 要在保证一定置信度的条件下 建

1242正态总体均值的区间估计 1.已知方差a2,均值的区间估计 设总体X~N(A,a2),G2已知,未知 x1,x2,…,xn是总体的一个样本,给定置信度 1-a,要求置信区间(,θ),使 P(6<<6)=1-a 成立 分三步完成:

12.4.2 正态总体均值的区间估计 1. 已知方差 2 , 均值  的区间估计 ~ ( , ), , . 设总体 X N   2  2已知  未知 . ( ) 1 1 , ( , ), , , , 1 2 成立 要求置信区间 使 是总体的一 个样本，给定置信度          = − − P x x  xn 分三步完成:

(1)确定一个统计量 该统计量的分布已知,且与有关 取样本均值x=∑x~N(μ,) n 于是 x-~M0,1) (2)查标准正态分布表找到zn/2>0, d(za2)=1 使 r-p a/2 < <Z a o/√n a/2

(1) 确定一个统计量. 该统计量的分布已知, 且与  有关 . = = n i xi n x 1 1 取样本均值 ~ ( , ) 2 n N   ~ (0 , 1) / N n x  −  于是 (2) , 0, 查标准正态分布表 找到z / 2  , 2 ( / 2 ) 1   z = −       = − − −  ) 1 / ( / 2 / 2 z n x 使 P z

a/2 (3)由上式左端不等式解出得 P(r-zal2 <u<x+balian )=1 于是得所求置信区间为 a/2 x十 a/2

(3) 由上式左端不等式解出 得     ( −  / 2   +  / 2 ) = 1− n x z n P x z 于是得所求置信区间为 (t) O x  / 2  / 2 − z / 2 z ( , ) / 2 / 2 n x z n x z   −  + 

在实际问题中,常取a=0.10或005或0.01, 查表得05=1645孤025=1.96x05=2576 置信度为0.90时,置信区间为 (x-1.645 x+1.645 n 置信度为0.95时,置信区间为 (x-196,x+1.96 nn 置信度为0.99时,置信区间为 (x-2576 ,x+2576)

在实际问题中, 常取 = 0.10或 0.05或 0.01 , 查表得 z0.05 = 1.645 z0.025 = 1.96 z0.005 = 2.576 ( 1.645 , 1.645 ) 0.90 , n x n x   − + 置信度为 时 置信区间为 ( 1.96 , 1.96 ) 0.95 , n x n x   − + 置信度为 时 置信区间为 ( 2.576 , 2.576 ) 0.99 , n x n x   − + 置信度为 时 置信区间为

例1设有一正态总体,其标准差σ=3,总 体均值μ未知,现抽得容量为4的一组样本值: 1.2,3.4,0.6,56,试求的0.99的置信区间 解样本均值为 x=(12+34+06+56)=27 o 3 σ=3,n 2 n3-2 于是有27-2576·<y<27+2576 2 即的099置信区间为 (-1.64,6.564)

(1.2 3.4 0.6 5.6) 4 1 x = + + + 解 样本均值为 = 2.7  = 3 , n = 4 , 例 1 1.2 , 3.4 , 0.6 , 5.6 , 0.99 . , 4 : , 3, 试求 的 的置信区间 体均值 未知 现抽得容量为 的一组样本值 设有一正态总体 其标准差 总    = 2 3 = n  2 3 2.7 2.576 2 3 于是有 2.7 − 2.576    +  ( 1.64 , 6.564) 0.99 − 即 的 置信区间为