西北工业大学网络教育学院：《统计学》课程PPT教学课件（统计推断2/5 - 抽样分布）

122抽样分布 学习目标 了解x2分布、t分布、F分布以及来自正态 总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。 会查x2分布、t分布、F分布的临界值表

12.2 抽 样 分 布 学 习 目 标 了解 分布、t 分布、F 分布以及来自正态 总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。 会查 分布、t 分布、F 分布的临界值表。 2  2 

统计量是样本的函数,是随机变量,有其 概率分布,统计量的分布称为抽样分布 设 1 29 xn是总体X的一个样本, 样本均值为 样本方差为 ∑(x2-x)2 n i=1

统计量是样本的函数，是随机变量，有其 概率分布，统计量的分布称为抽样分布.   = = − − = = n i i n i i n x x n s x n x x x x X 1 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 1 , , , 样本方差为 样本均值为 设  是总体 的一个 样本

12.2.1x分布 设x 152 xn是来自标准正态总体N(0,1) 的一个样本,统计量x2=x2+x2+…+x2的分布 密度为 x2 2 >0 f(x)=122() x≤0 称x2服从自由度为n的x2分布,记为x2~x2(m) 其中()称为r-函数,其值可以查表求得 2

12.2.1 2  分布 , ~ ( ) . 0 , 0 , 0 ) 2 2 ( 1 ( ) , , , (0 , 1) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n x x e x n f x x x x x x x N n x n n n       称 服从自由度为 的 分布 记为 密度为 的一 个样本，统计量 的分布 设 是来自标准正态总体         = = + + + − −   ) , . 2 其中  ( 称为 −函数 其值可以查表求得 n

x2分布的密度函数与自由度n有关,n可以 看作参数 般当n≥45时,√2x2(m)近似地服从正态 分布N(√2n-1,1) f(x) n n=4 n=10 10 15 20

( 2 1 , 1). 45 2 ( ) 2 −  N n n n 分布 一般当 时，  近似地服从 正态 . 2 看作参数  分布的密度函数与自由度 n 有关，n 可以 f (x) n = 1 n = 4 n = 10 O 5 10 15 20 x

满足条件 P(>x(n) f(t)dt=a(0<c<1) 的点x2(n)称为x2(m)分布的上100a百分位点 或上侧a分位数,也称作上侧a临界值.其中 f(t)是x2(n)分布的密度函数 上侧a临界值x2(m)可以根据自由度n和概 率a查x2(m)分布表求得(见附表m) f(t)

的点 称为 分布的 满足条件 ( ) ( ) ( ( )) ( ) (0 1) 2 2 ( ) 2 2 2 n n P n f t dt n            = =    + 上100 百分位点 或 上侧 分位数， 也称作 上侧 临界值. ( ) ( ) . 是 2 分布的密度函数 其中 f t  n ( ) ( ). ( ) 2 2 n III n n 率 查 分布表求得 见附表 上侧 临界值 可以根据自由度 和概      f (t) O t ( ) 2   n 

定理12.1设x1,x2,…,x是来自正态总体 N(,a2)的一个样本,则 ()样本均值x=∑x,~N, (2)统计量-D2 2=∑ (x;-x) 2~x2(n-1) (3)x与s2相互独立

定理 12.1 (3) . ~ ( 1) . ( 1) ( ) (2) ~ ( , ) . 1 (1) ( , ) , , , 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 与 相互独立 统计量 样本均值 的一 个样本，则 设 是来自正态总体 x s n n s x x n x N n x N x x x n i i n i i n − − = − =   = =        

定理122设x1,x2,…,x是来自标准正态 总体N(0,1)的一个样本,则 (1)样本均值x~N(0,-) (2)Q=∑(x-x)2~x2(m-1) i=1 (3)x与Q相互独立 定理表明:当总体服从正态分布时,无论样 本容量大小,样本均值总服从正态分布,且样本 均值的期望E(x)等于总体均值,样本均值的方 差D(x)等于总体方差的1/n

定理 12.2 (3) . (2) ( ) ~ ( 1) . ) . 1 (1) ~ (0 , (0 , 1) , , , 2 1 2 1 2 与 相互独立 样本均值 总体 的一 个样本，则 设 是来自标准正态 x Q Q x x n n x N N x x x n i i n =  − − =   ( ) 1/ . ( ) D x n E x 差 等于总体方差的 均值的期望 等于总体均值，样本均值的方 本容量大小，样本均值总服从正态分布，且样本 定理表明：当总体服从正态分布时，无论样

例1已知某单位职工的月奖金服从正态分 布,总体均值为200,总体标准差为40,从该 总体抽取一个容量为20的样本,求样本均值介 于190~210的概率 解已知总体X~N(200,402),n=20, 则E(x)=200,D(x)=×402=80, 20 于是得x~N(200,80) 210-200 P190<x<210)=(80 190-200 )-更( 80 ≈2@(1.118)-1≈2×0.8686-1 =0.7372

例 1 已知某单位职工的月奖金服从正态分 布, 总体均值为 200, 总体标准差为 40 , 从该 总体抽取一个容量为 20 的样本, 求样本均值介 于 190~210 的概率 . ~ (200 40 ) , 20 , 2 解 已知总体 X N ， n = 则 E(x) = 200 , 于是得 x ~ N(200 , 80). 40 80 , 20 1 ( ) 2 D x =  = P(190  x  210) ) 80 190 200 ) ( 80 210 200 ( − − − =   2(1.118) − 1  20.8686 − 1 = 0.7372

例2已知容量为11的样本来自正态总体 N(,口2),求练计(n-1)8当a=0.05时的 临界值 解由定理知 (n-1) ~x2(10) 在附表m中查n=10,c=0.05的对应值 18.307,即 x0.05(10)=18307 其概率意义为:服从自由度为10的x2分布的 随机变量取值大于18.307的概率为0.05

例 2 已知容量为 11 的样本来自正态总体 . 0.05 ( 1) ( , ) , 2 2 2 临界值 求统计量 当 = 时的 −     n s N 解 ~ (10) . ( 1) 2 2 2   n − s 由定理知 18.307 , 在附表 III 中查 n = 10 ,  = 0.05的对应值 (10) 18.307 2  0.05 = 即 18.307 0.05 . : 10 2 随机变量取值大于 的概率为 其概率意义为 服从自由度为 的 分布的

1222t分布 设X与Y是两个相互独立的随机变量,且 X~N(0,1,Y~x2(m),则统计量T= 的 Y/n 概率密度为 n+1 n+1 f(x)= 2(-∞<x<+o) n n元 2 称统计量T服从自由度为n的t分布,记作 Tt(n)

12.2.2 t 分布 ~ ( ) . , (1 ) ( ) ) 2 ( ) 2 1 ( ( ) / ~ (0 , 1), ~ ( ) , 2 2 1 2 T t n T n t x n x n n n f x Y n X X N Y n T X Y n 称统计量 服从自由度为 的 分布 记作 概率密度为 则统计量 的 设 与 是两个相互独立的随机变量，且 + −   + + = = + −    