西北工业大学《计算方法》PPT电子教案

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计算方法 第一章绪论 第二章求方程根的近似方法 第三章线性代的方程组解法 第四章矩阵特征值和特征向量计算 第五章插值法

第一章 绪论 第二章 求方程根的近似方法 第三章 线性代的方程组解法 第四章 矩阵特征值和特征向量计算 第五章 插值法 计算方法

计算方法 第一章:绪论 §1.1计算方法的任务与特点 实际问题→数学问题→提供计算方法 程序设计→上机计算→结果分析

§1.1计算方法的任务与特点 第一章: 绪论 实际问题 数学问题 提供计算方法 程序设计 上机计算 结果分析 计算方法

基本的数学问题: 1大型线性代数方程组Ax=b求解; 2矩阵A的特征值和特征向量计算; 3非线性方程f(x)=0求解(求根); 4积分f(xk/计算; 5常微分方程初值问题求解; 6其它

基本的数学问题: 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。 f (x) = 0 f x dx b a ( )

求精确解(值)一般非常困难。例如 方程组阶数n很大,例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年 好方法不到一分钟。另外,有计算结果可靠性 问题。 2.特征值定义 Ax=元x(x≠0 Ax-入x=0(4-Dx=0 1A-AI|=0

求精确解(值)一般非常困难。例如： 1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。 2. 特征值定义 Ax = x (x  0) Ax − x = 0 (A − I)x = 0 | A− I |= 0

3.f(x)形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解,如 y+2-y=1y(0)=y(0)=1 非线性方程难解,如 y +Siny'-y 1y(0)=y(0)=1 希望:求近似解,但方法简单可行,行之有效 (计算量小,误差小等)。以计算机为工 具,易在计算机上实现。 计算机运算:只能进行加,减,乘,除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法:把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加,减,乘,除等基本运算 数值方法

3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如 f ( x) 2 1 " ' y + y − y = (0) (0) 1 ' y = y = sin 1 " 2 e y + y − y = y (0) (0) 1 ' y = y = 希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 数值方法

§1.2误差基础知识 误差来源(分类) 1.模型误差。 2.观测误差。 3.截断误差,如 sIna= 5 sinx-(x-) 3!5! 右端是截断误差

§1.2 误差基础知识 ...... , 3! 5! sin 3 5 = − + − x x x x ...... 5! ) 3! sin ( 3 5 − − = − x x x x 一 .误差来源（分类） 1. 模型误差。 2. 观测误差。 3. 截断误差，如 右端是截断误差

舍入误差。计算机字长有限,一般实数不能精确 存储,于是产生舍入误差。例如:在10位十进 制数限制下: 1÷3=0.33333333应÷3=0.333333 (1.00002=1.000004=0 (本应Q100002-1.00004 =1.000004000004-1.000004 =0.0000000404×10-12) 舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制

4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确 存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进 制数限制下： 舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。 1 3 = 0.3333333333(本应1 3 = 0.33333333333） (1.000002) 1.000004 0 2 = = ） 本应（ ） 1 2 2 0.000000000004 4 10 1.000004000004 1.000004 ( 1.000002 1.000004 − = =  = − −