高等数学（多元函数）

生一、多元函数的概念 (1)邻域 设P(x0,y0)是xy平面上的一个点,δ是某 正数,与点P(x0,y0)距离小于的点P(x,y) 的全体,称为点P0的δ邻域,记为U(P0,0) 王U(n,6)={P|Pk 0 T =x, lv(x-x)+(y-yo 2<8 上页

设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0  ， （1）邻域 P0 ( , )  U P0  = P | PP0 |  ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y   一、多元函数的概念 •

(2)区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 生一个点如果存在点P的某一邻域 U(P)CE, c则称P为E的内点E的内点属于E 如果点集E的点都是内点 工工工 则称E为开集 例如,E1={(x,y)<x2+y2<4} E 即为开集. 王页下

（2）区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P  E 的内点属于 E . E 则称 为开集. •P 如果点集 的点都是内点， E E {( , )1 4} 2 2 例如， E1 = x y  x + y  即为开集．

如果点P的任一个邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 上E的边界点的全体称为E的边界 P 设D是开集.如果对于D内 工工工 任何两点,都可用折线连结起来, E 上且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的 上页

可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， E P E E P E P E E •P E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •

连通的开集称为区域或开区域 例如,{(x,y)1<x2+y2<4} 开区域连同它的边界一起称为闭区域1y 例如,{(x,y)1≤x2+y2≤4} 上页

连通的开集称为区域或开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y  x + y  x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y  x + y  x y o

对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离AP不超过K, 即 AP0} 无界开区域. 上页

{(x, y)| x + y  0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 则称为无界点集． 例如， 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K    {( , )|1 4} 2 2 x y  x + y 

(3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 说明: 内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; 例{(x,y)10<x2+y2≤1} (0,0)既是边界点也是聚点 上页

（3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 内点一定是聚点； 说明： 边界点可能是聚点； {( , )| 0 1} 2 2 例 x y  x + y  (0,0)既是边界点也是聚点．

点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 例如,{(x,y)|0<x2+y≤1} (0,0)是聚点但不属于集合 例如,(x,y)|x2+y2=l} 边界上的点都是聚点也都属于集合. 上页

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． {( , )| 0 1} 2 2 例如, x y  x + y  (0,0) 是聚点但不属于集合． {( , )| 1} 2 2 例如, x y x + y = 边界上的点都是聚点也都属于集合．

(4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称?元数组 (x1,x2,…,xn)的全体为维空间,而每們元数 组(x1,x2,…,xn)称为维空间中的一个点,数 x称为该点的第个坐标 工工工 说明: n维空间的记号为R n维空间中两点间距离公式 上页

（4）n维空间 设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( , , , ) x1 x2  xn 的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( , , , ) x1 x2  xn 称 为n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标. n维空间的记号为 说明： ; n R n维空间中两点间距离公式

设两点为P(x1,x2,…,xn),Q(y1,y2,…,y) IPQ=√(1-x1)2+(Jy2-x2)2+…+(yn-xn) 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念 邻域:U(P,δ)={P|PPk<,P∈R"} 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 上页

( , , , ), P x1 x2  xn ( , , , ), 1 2 n Q y y  y | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n xn PQ = y − x + y − x ++ y − n维空间中邻域、区域等概念   n U(P0 , ) = P | PP0 |  ,P  R 特殊地当 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n = 1, 2, 3 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 设两点为

(5)二元函数的定义 设D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D,变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为 庄x=f(x,)(或记为2=fP 工工工 类似地可定义三元及三元以上函数 当n≥2时,n元函数统称为多元函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 上页

设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x, y) D，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数，记为 z = f ( x, y)（或记为z = f (P)）. （5）二元函数的定义 当n  2时，n元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 类似地可定义三元及三元以上函数．