大连理工大学：《信号与系统》课程教学课件（讲稿）第24讲 §3.1 LTI离散系统的响应 §3.2 单位序列响应和阶跃响应

信号与系统第二十四讲S 3.1 LTI离散系统的响应S 3.2单位序列响应和阶跃响应第1页

第 1 页 信号与系统 第二十四讲 §3.1 LTI离散系统的响应 §3.2 单位序列响应和阶跃响应

思考题画出×4[2-2n]序列的图形已知x4[n]波形，(n)X13-4 -3-2 -1 1014P189第2页

第 2 页 已知x4[n]波形，画出x4[2-2n]序列的图形。 P189 思考题

2. 特解yp(k):特解的形式与激励的形式类似激励f(K)响应y(k)的特解yp(kP(常数)F(常数)Pmkm+Pm-km-1 +...+Pk+P(特征根均不为1)mAnk"(Pk"+Pm-km-l+..+Pk+P)有r重为的特征根）Pa(a不等于特征根）（Pk+Po)ak（a等于特征单根）CT(P,k"+Pr-kr-1+...+Po)ak(a等于r重特征根）cos(β k)P cos(βk)+ P2 sin(βk)(特征根不等于e±jβ)sin(β k)第3页

第 3 页 2.特解yp (k): k r (Pm k m  Pm1 k m1  P1 k  P0 )(有r重为1的特征根） （P1k  P0 )a k (a等于特征单根） 激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k) F(常数) P(常数) m k Pm k m  Pm1 k m1  P1 k  P0 (特征根均不为1） k a Pak (a不等于特征根） cos k sin k cos  sin ( e ) j 1 2     P k  P k 特征根不等于 （Prk r  Pr1k r1  P0 )a k (a等于r重特征根） 特解的形式与激励的形式类似

例3.1-2系统方程y(k)+4y(k-1)+4y(k-2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=-1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程入2+ 4入+ 4=0特征根入,= 入2= - 2自由响应yh (k)=(C,k +C,) (-2) k齐次解特解y,(k) =P (2) k, k≥0P(2) k+4P (2) k-1+4P (2) k-2=f (k) =2k代入差分方程解得P=1/4强迫响应特解y,(k) =2k-2k≥0全解y(k)=yh+y=(C,k+C,) (-2) k +2k-2, k≥0代入初始条件C,=1 ， C,= -1/4第4页

第 4 页 例3.1-2 系统方程y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= –1；激励 f(k)=2k ，k≥0。求方程的全解。 解：特征方程 λ2 + 4λ+ 4=0 特征根 λ1 =λ2 = – 2 齐次解 yh (k)=(C1 k +C2 )(–2)k 自由响应 特解 yp (k)=P(2) k,k≥0 代入差分方程 P(2) k+4P(2) k–1+4P(2) k–2=f(k)=2 k 解得 P=1/4 特解 yp (k)=2 k–2 , k≥0 强迫响应 全解 y(k)=yh +yp =(C1 k+C2 )(–2)k +2k–2,k≥0 代入初始条件 C1 =1 , C2 = –1/4

三.零输入响应和零状态响应y(k) =yz, (k) +yz. (k)(1) yzi(k)零输入响应求齐次差分方程的解（单实根）y(k)+an-1y(k-1) +...+ aoy (k-n) =0nECzi(aj)hYzi =Czij---待定系数j=1(2) yzs (k)零状态响应非齐次差分方程的解(k) +an-1y(k-1) +...+aoy(k-n) =bmf(k) +...+bof(k-m)第5页

第 5 页 三.零输入响应和零状态响应 （1）yzi(k) 零输入响应 求齐次差分方程的解（单实根） y(k)+an-1y(k-1)+.+ a0y (k-n)=0 Czij-待定系数 （2）yzs(k) 零状态响应 非齐次差分方程的解    n j k zi Czij j y 1 （ ) y(k)=yzi(k)+yzs(k) y(k)+an-1 y(k-1)+.+a0 y(k-n)=bm f(k)+.+b0 f(k-m)

Yzi (k)起始储能k0(k)激励yZS(k)起始条件(a)Yzs (-———-=z (-n) =0(3)yzs (-1) =yzs (-2) =-起始(b)Yzi (k)起始条件条件k<0,激励没有接入f(k)=0的确(-1) = y(-1)Yzi定yzi (-2) = y(-2)(-n) = y(-n)Yzi第6页

第 6 页 yzi (-1) = y(-1) yzi (-2) = y(-2) - yzi (-n) = y(-n) （a） yzs(k) 起始条件 yzs(-1)=yzs(-2)=-=yzs(-n)=0 （3） 起始 条件 的确 定 （b） yzi(k) 起始条件 k<0, 激励没有接入f(k)=0 k 0 yzi(k) yzs(k) 起始储能 激励

nYzs(t) = ECzsi(a;)k + yp(k)j=1其中：Czsj -待定系数y,(k)--特解（4）(k)全响应ny(k) = c;(a,)k + yp(k) = czij(a,))k+Zc(a,)"+ J(kj=1j-1i-1自由强迫零输入零状态响应响应响应响应第7页

第 7 页 ( ) ( ) ( ) 1 1 c c y p k k j n j zsj k j n j   zij            n j p k yzs t Czsj j y k 1 ( ) （ ) ( ) 其中：Czsj -待定系数 yp(k)-特解 （4）y(k)全响应 零输入 响应     n i p k y k ci i y k 1 ( ) ( ) ( ) 强迫 响应 自由 响应 零状态 响应

例3.1-4、3.1-5系统方程为y(k) +3y(k-1) +2y(k-2)=f(k)已知激励f(k)=2k ，k≥0初始状态y(-1)=0, y(-2)=1/2求系统的零输入响应、零状态响应和全响应解：（1）yi(k)零输入响应Yz(k) + 3yz(k -1)+ 2yzi(k -2)= 0yz(-1)= y(-1)= 0, yzi(-2) = y(-2) = 1/2特征根α,=-1， 22=- 2解为zi(k)=Czi(- 1)k+Czi2(-2)k第8页

第 8 页 例3.1-4、3.1-5 系统方程为 y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k) 已知激励 f(k)=2 k , k≥0 初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)零输入响应 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 特征根 λ1 = –1 ，λ2 = – 2 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2

Yzi(k) + 3yzi(k -1)+ 2yzi(k -2)= 0Yz;(k)=Czi(- 1)k+Czi2(-2)kyzi(-1)= y(-1)= 0, yz(-2) = y(-2) = 1/2递推求yzi(0)、yzi(1)zi(k)= - 3yz(k -1) -2yzi(k -2)Yzi(0)= -3yz(-1) -2yz(-2)= -1yz(1)= -3yzi(0) -2yz(-1)=3代入初始值解得Czi1=1，Czi2=- 2zi(k)=(- 1)k- 2(- 2)k, k≥0第9页

第 9 页 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 代入初始值解得 Czi1 =1 , Czi2 =–2 yzi(k)=(– 1) k – 2(– 2) k , k≥0 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2

(2)零状态响应y(k）满足Yzs(k) + 3yz(k -1) + 2yzs(k -2) = f(k)yzs(-1)= yzs(-2) = 0递推求初始值zs (0), yzs (1)k>0yzs(k) = - 3yzs(k -1) - 2yz(k -2) + 2kyzs(0) = - 3yzs(-1) - 2yzs(-2) + 1 = 1Yzs(1) = - 3yzs(0) - 2yzs(-1) + 2 = - 1零状态响应yz(k)=Czs1(-1)k +Czs2(-2)k+y。(k)=Czs1 (-1) k +Czs2 (-2) k +(1/3) 2k第10页

第 10 页 零状态响应 yzs(k)=Czs1(-1)k +Czs2(-2)k +yp (k) =Czs1(-1)k +Czs2(-2)k +(1/3)2k yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 递推求初始值 yzs(0), yzs (1) yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k k≥0 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0