大连理工大学：《信号与系统》课程教学课件（讲稿）第26讲 §3.3 卷积和 §6.1 z变换

信号与系统第二十六讲$ 3.3卷积和s6.1z变换第1页

第 1 页 信号与系统 第二十六讲 §3.3 卷积和 §6.1 z 变换

系统方程y(k)+6y(k-1)+9y(k-2)=f(k已知初始条件y(0)=1，y(1)=-2；激励f(k)=4k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程入2+ 6入+ 9=0特征根,= 入2= - 3自由响应齐次解yh (k)=(C,k +C,) (-3) k特解y, (k)=P(4) k, k≥0P(4) k+6P (4) k-1+9P (4) k-2=f (k) =4k代入差分方程解得P=16/49强迫响应特解y, (k)=(16/49) (4) kk≥0全解y(k)=yh+y=(C,k+C,)(-3)k +(16/49) 4k,k≥0代入初始条件C,=3/7 ， C,= 33/49第2页

第 2 页 系统方程y(k)+6y(k–1)+9y(k–2)=f(k) 已知初始条件y(0)=1，y(1)= –2；激励 f(k)=4k ，k≥0。求方程的全解。 解：特征方程 λ2 + 6λ+ 9=0 特征根 λ1 =λ2 = – 3 齐次解 yh (k)=(C1 k +C2 )(–3)k 自由响应 特解 yp (k)=P(4) k,k≥0 代入差分方程 P(4) k+6P(4) k–1+9P(4) k–2=f(k)=4 k 解得 P=16/49 特解 yp (k)=(16/49)(4) k k≥0 强迫响应 全解y(k)=yh +yp =(C1 k+C2 )(–3)k +(16/49)4k,k≥0 代入初始条件 C1 =3/7 , C2 = 33/49

21.51.5例：f (k)、f,(k)如图所示已知f(k)=f,(k)*f,(k)求f(2) =?0231-1-28Afz( i解: f(2)= Zfi(i)f2(2-i)f2(2-i)1i=-80123（1）换元0(2）f,(i)反转得f,（-i)fi(i)fz(k-i)2（3）f2（-i)右移2得f22-i）1.5(4) f,(i)乘f,(2- i)（5）求和，得f(2)=4.52301第3页

第 3 页 例：f1(k)、f2(k)如图所示， 已知f(k)=f1(k)*f2(k)， 求f(2) =？ 解： （1）换元 （2）f2 (i)反转得f2 (–i) （3）f2 (–i)右移2得f2(2–i) （4）f1(i)乘f2 (2–i) （5）求和，得f(2)=4.5      i f (2) f (i) f (2 i) 1 2 0 1 2 k -1 f1( k ) 1.5 1 1.5 2 1 f2( k ) 0 1 2 3 3 -2 -2 -1 k i i i i f2 (2–i) 0 1 2 i -1 f1( i )f2( k- i ) 1 1.5 2 3

二、7不进位乘法求卷积有限长序列卷积和计算：不进位乘法方法：将两序列样值以各自k的最高值按右端对齐，然后把逐个样值对应相乘但不进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和。1.5211.511X第4页

第 4 页 二、不进位乘法求卷积 方法： 将两序列样值以各自 k的最高值按 右端对齐，然后把逐个样值对应相乘， 但不进位，最后把同一列上的乘积值按 对位求和。 有限长序列卷积和计算：不进位乘法 1.5 1 1.5 2 1 1 1 ×————————

不进位乘法求卷积和例f(k) ={1.5,1 ，1.5 ，2)求f(k) =f, (k) *f, (k)↑k=0f(k) ={1, 1, 1)解1.5， 1, 1.5, 2↑k=01.1.1X1.5 ，,1, 1.5,21.5，1, 1.5,21.5 ， 1, 1.5, 21.5,2.5,4，4.5, 3.5， 2f(k) =(1.5, 2.5 , 4, 4.5, 3.5, 2)↑k=0第5页

第 5 页 不进位乘法求卷积和 例 f1 (k) ={1.5，1 ，1.5 ，2} ↑k=0 f2 (k) ={ 1，1，1} ↑k=0 1.5 ，1，1.5，2 1 ，1 ，1 解 ×———————— 1.5 ，1，1.5，2 + ———————————— 1.5, 2.5, 4 , 4.5, 3.5，2 求f(k)=f1(k)*f2(k) f(k) = {1.5，2.5 ，4，4.5，3.5，2} ↑k=0 1.5 ，1，1.5，2 1.5 ，1，1.5，2

三、卷积和的性质1.满足乘法三律：(1)交换律（2)分配律（3)结合律2. f(k)* (k)=f (k) , f(k)* 8 (k- kO)=f(k - k0)K3. f(k)*ε (k) =Zf(i)i=-004. f1 (k - k1)* f2(k - k2)=f (k - k1 - k2)5.△[f, (k)*f,(k)=△f, (k)*f, (k)=f, (k)*△f, (k)第6页

第 6 页 三、卷积和的性质 1.满足乘法三律：(1)交换律(2)分配律(3)结合律. 2. f(k)*δ(k)=f(k) ，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0) 3. f(k)*ε(k) =  k i f (i) 4. f1(k–k1)* f2(k–k2) =f(k–k1–k2) 5. △[f1(k)*f2(k)]=△f1(k)*f2(k)=f1(k)*△f2(k)

ε(t)* ε (t)=tε(t)ε（t+a)*ε（t+b)=(t+a+bε（t+a+bc(k)*c(k) = (k+1)c(k)ε(k+a)*ε(k+b)=(k+a+b+1)(k+a+b)第了贵

第 7 页 第 7 页 ε(t)*ε(t)=tε(t) ε(t+a)*ε(t+b)=(t+a+b)ε(t+a+b) ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) ε(k+a)*ε(k+b)=(k+a+b+1)ε(k+a+b)

例复合系统中由性质求卷积和h (k)= ε (k),hi(k)h, (k)= ε (k - 5),Zhi(k)求复合系统f(k)y(k)的单位序列响应h（k)hz(k)解 根据h(k)的定义，有h(k)=[8 (k)*h, (k) - (k)* h,(k)］* h, (k)=[h, (k) -h2(k) ]* h, (k)=h, (k)*h, (k) - h, (k)* h, (k)=8(k)*ε (k) - ε (k-5)*ε (k)=(k+1) 8 (k) - (k-5+1) 8 (k - 5)=(k+1) ε (k) - (k - 4) ε (k - 5)第8页

第 8 页 例 复合系统中 由性质求卷积和 h1(k)=ε(k)， h2(k)=ε(k–5)， 求复合系统 的单位序列响应h (k) 。 解 根据h(k)的定义，有 h1(k) h2(k) ∑ h1(k) f(k) y(k) h(k)=[δ(k)*h1(k)–δ(k)* h2(k)]* h1(k) =[h1(k)–h2(k)]* h1(k) =h1(k)*h1(k)–h2(k)* h1(k) =ε(k)*ε(k)–ε(k–5)*ε(k) =(k+1)ε(k)–(k-5+1)ε(k–5) =(k+1)ε(k)–(k–4)ε(k–5)

第六章离散系统的z域分析连续系统，通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程离散系统，通过z变换，把差分方程转换为代数方程。s6.1z 变换第9贵

第 9 页 第 9 页 第六章 离散系统的z域分析 连续系统，通过拉氏变换把微分方程转换为 代数方程。 离散系统，通过z变换，把差分方程转换为 代数方程。 §6.1 z 变换

一、从拉普拉斯变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号f(t)连续信号取样信号f.(t)f.(0)f(0)4T取样脉冲乡-TT03T2T1, ()输入原信号f（t）和输出取样信号fs（t）fs(t) = f(t)Sr(t) = f(t) 8(t -kT) =Z f(kT)S(t-kT)k=-00k=-00186页4. 9-10第10页

第 10 页 一、从拉普拉斯变换到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号:            k k S T f (t) f (t) (t) f (t)  (t kT) f (kT) (t kT) 连续信号 取样信号 取样脉冲 f t f t  s t TS  186页 4.9-10