西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2012）13 矢量分析与场论

矢量分析与场论 矢性函数 A=A(t)8+A(t)9+A,(t)2 L[A(=LA.(R+L[A,(t)]+L[A,(t)]2 L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分） a.b=a.b.cos 2 a.(bxc)=c.(axb)=b.(cxa) axb= a a a by a×(b×c)=(a·c)b-(a,b)c lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 2 矢量分析与场论 矢量分析与场论 )t(Ax)t(AA ˆ )t(Ay zˆ x y ++= z  K x yz L[A(t)] L[A (t)]x L[A (t)]y+L[A (t)]z = + ˆ ˆ K  矢性函数 运算 L是算子符号，代表一种运算（极限、导数、积分） 一些基本矢量运算 a b a b cos ⋅=⋅⋅ θ K K xyz xyz xyz ˆˆˆ a b= a a a bbb × K K a (b c) ××= K K K a (b c) ⋅ × = K K K (a c)b-(a b)c ⋅ ⋅ K K K K KK a b c c (a b) b (c a) ⋅ × =⋅ × K K K K KK XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

矢量分析与场论 ■矢端曲线 F=A(t)x+A(t)D+A(@) RS 矢量线 d&-少d正 Ax Ay Az IDIANEDUCN lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 3 矢量分析与场论 矢量分析与场论 „ 矢端曲线 „ 矢量线 AAA xyz dx dy dz = = () () () ˆ ˆ ˆ x yz r A t x A ty A tz = + + K XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

矢量分析与场论 数量场 0 等值面 护梯度 矢量场 0 采用矢量线 散度 描述 旋度 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 4 矢量分析与场论 矢量分析与场论 数量场 等值面 梯度 矢量场 采用矢量线 描述 散度 旋度 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

矢量分析与场论 ■又算子： V(VxA三0 V×(Vp)=0 ·直角坐标系定义三 + 。 梯度： ou -1V+ 00 散度： 7 4 OA. O 旋度： -V a A lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 5 ˆ ˆ ˆ x y z x y z rotA A x y z A A A ∂ ∂ ∂ =∇× = ∂ ∂ ∂ K K 矢量分析与场论 矢量分析与场论 „ ▽算子： • 直角坐标系定义： • 梯度： • 散度： • 旋度： z z y y x x ˆˆ ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ˆ ˆ ˆ uuu gradu u x y z x y z ∂ ∂ ∂ =∇ = + + ∂ ∂ ∂ x y z A A A divA A x y z ∂ ∂ ∂ =∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂ K K 矢量 标量 矢量 ∇⋅ ∇× = ( )0 A K ∇×∇ = ( )0 ϕ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

矢量分析与场论 Vf(r)=f(Dr=f(r)f Vr= V.r=3 V×[f(r)]=0 7×r=0 5=0 AN.EDU.CN lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 6 矢量分析与场论 矢量分析与场论 ˆ 3 0 r r r r r r ∇ = = ∇⋅ = ∇× = K K K 3 ( ) () ()ˆ [ ()] 0 ()0 f r f r r f rr r f rr r r ′ ∇= = ′ ∇× = ∇× = K K K 3 1 r r r ∇ = − K XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

矢量分析与场论 场的基本概念；标量场的梯度；矢量场的散度、旋度： 亥姆霍兹定理： 圆柱坐标系与球坐标系中的梯度、散度 和旋度。 ·1.基本要求 (1)熟练掌握场的基本概念，掌握标量场的梯 度、矢量场的 散度和旋度的定义、运算。 (2)了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度、散度和 旋度运算。 。 2.重点、难点 重点：场的基本概念；梯度、散度和旋度的定义、 运算和物理意义 难点：矢性微分算符、亥姆霍兹定理、矢量公式 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 7 矢量分析与场论 矢量分析与场论 „ 场的基本概念；标量场的梯度；矢量场的散度、旋度； 亥姆霍兹定理；圆柱坐标系与球坐标系中的梯度、散度 和旋度。 • 1.基本要求 „ （1）熟练掌握场的基本概念，掌握标量场的梯 度、矢量场的 散度和旋度的定义、运算。 „ （2）了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度、散度和 旋度运算。 • 2.重点、难点 „ 重点：场的基本概念；梯度、散度和旋度的定义、 运算和物理 意义 „ 难点：矢性微分算符、亥姆霍兹定理、矢量公式。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静电场 ■库仑定律： ·分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为： F()= - 4πe0 region F-州 p(r'dv' 体电荷 dq'=p,(F")ds 面电荷 pi()dl 线电荷 1 60≈ ×10-9F/m 36π lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 8 静电场 „ 库仑定律： • 分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为： ( ) ∫ ′ − ′ − ′ = region q qd rr rrq rF 3 4 0 GG G G G G πε ( ) ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ′′ ′′ ′′ ′ = 线电荷 面电荷 体电荷 ldr sdr Vdr qd l s G G G ρ ρ ρ 9 0 1 10 / 36 ε F m π − ≈ × XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静电场 真空中静电场的基本解可归纳为 V.E= fE.ds=2 0 VxE=0 E-dl=0 E=-7p ·静电场是一个无旋、有源（通量源）场 。 电荷就是静电场的源 V0=- ·电力线总是从正电荷出发到负电荷终止 e(r") 4π8 r-r lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 9 静电场 „ 真空中静电场的基本解可归纳为 • 静电场是一个无旋、有源(通量源)场 • 电荷就是静电场的源 • 电力线总是从正电荷出发到负电荷终止 0 ε Q sdE s =⋅ ∫ G G 0 E ρ ε ∇⋅ = K ∇× = E 0 K 0 l E dl ⋅ = ∫ K K v E = −∇ϕ K ∫ − = V dV rr r r ' ')'( 4 1 )( 0 ρ πε ϕ ε ρ ϕ −=∇2 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静电场 ·介质中的场方程 V.D=P ∮Ds=Q 7xE=0 ∮Ei=0 D=8E+P=EE Psp=p.n 边界条件： n×E=n×E2 On 092=ps 00h←82an (D-D)=P 22-0=0 lexu@mail.xidian.edu.cn o

lexu@mail.xidian.edu.cn 10 静电场 „ 介质中的场方程 „ 边界条件： D = += ε 0EP Eε K KK K 0 D E ⎧⎪ ∇⋅ = ρ ⎨⎪⎩ ∇× = KK 0 S l D dS Q E dl ⎧ ⋅ = ⎪⎨⎪ ⋅ = ⎩ ∫∫ K K K K vv 1 EnEn 2 K K K K ×=× 2 1 ( ) s nD D ⋅−= ρ K K K 1 2 1 2 2 1 0 S n n ϕ ϕ ε ε ρ ϕ ϕ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ρ p = −∇ ⋅ P K ρ S p = P ⋅ n K K XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静电场 ■电容的求法超 ·1.假设两导体上所带电荷q,并根据实际情况求出电 荷分布。 ·2.由电荷分布求出电场强度，进而得出两导体电位差 。3.由电容定义求出电容。 C= ■导体系统 [o]=[p]Ig] q小=[βB]Io] lexu@mail.xidian.edu.cn 11

lexu@mail.xidian.edu.cn 11 静电场 „ 电容的求法： • 1. 假设两导体上所带电荷q，并根据实际情况求出电 荷分布。 • 2. 由电荷分布求出电场强度，进而得出两导体电位差 • 3. 由电容定义求出电容。 „ 导体系统 ∫ ⋅= 21 ldEU K K U q C = ϕ = qp ]][[][ [ ] [ ][ ] q = β ϕ 1 , n ii ij ij ij j C C β β = = ∑ = − XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN