西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2012）05 静电场中的导体系统

Review ·电偶极子 ·介质极化 D=80E+P ·束缚电荷 Psp=P.i.Pp=-V.P ·介质高斯定理 ∮Ds=0 (D2-D)=p 091-62 On 02=Ps ·介质中的场方程 ∮Edl=0 ● 静电场边界条件 D=8E n×E1=n×E2p2-p=0 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 2 Review  电偶极子  介质极化  束缚电荷  介质高斯定理  介质中的场方程  静电场边界条件 ( ) 0 0 1 1 4 4 S V P n P dS dV r r r r φ πε πε −∇ ⋅′ ⋅ = ′ ′ + − − ′ ′ ∫ ∫         PED  ε 0 += 0 S l D dS Q E dl D Eε  ⋅ =    ⋅ =   =  ∫ ∫         1 EnEn 2     ×=× 2 1 ( ) s nD D ⋅−= ρ    S nn ρ ϕ ε ϕ ε = ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 1 1 0 ϕϕ 12 =− , ρ ρ S p = ⋅ = −∇ ⋅ Pn P p    XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静电场中的导体系统 。当电场中存在导体时，在外电场的作用下导体内部的电子做宏观 运动，其结果是： 。一方面影响导体外的电场分布； 。另一方面使导体内部的总电场为零。 ●物理解释 。重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场，而该电场与外电场 的方向相反，当电荷的宏观运动达到平衡时（即分布达到稳定状 态)，分布电荷的电场恰与外部电场相互抵消。 。平衡状态时的导体成为等位体，表面成为等位面 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 3 静电场中的导体系统  当电场中存在导体时，在外电场的作用下导体内部的电子做宏观 运动，其结果是：  一方面影响导体外的电场分布；  另一方面使导体内部的总电场为零。  物理解释  重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场，而该电场与外电场 的方向相反，当电荷的宏观运动达到平衡时（即分布达到稳定状 态），分布电荷的电场恰与外部电场相互抵消。  平衡状态时的导体成为等位体，表面成为等位面 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 ·静电平衡时，导体内部电场为零，导体本身是等位体： ●导体表面是等位面，内部无电荷，电荷分布在导体表面； ●在多导体系统中，每个导体携带电荷一定，它们的电位及其电荷 面密度完全由各导体几何形状、相对位置和导体间介质特性等系 统结构参数决定； ·为描述这种关系，引入电位系数、电容系数及部分电容的概念。 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 4 导体系统的电容  静电平衡时，导体内部电场为零，导体本身是等位体；  导体表面是等位面，内部无电荷，电荷分布在导体表面；  在多导体系统中，每个导体携带电荷一定，它们的电位及其电荷 面密度完全由各导体几何形状、相对位置和导体间介质特性等系 统结构参数决定；  为描述这种关系，引入电位系数、电容系数及部分电容的概念。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 ·带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容器 电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量 。其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围的介质 有关。 。电容与两导体所带电荷及其间电位差有如下关系： C= 电容与导体的带电情况无关：《U=Ed,而E与9成正比) ● ·一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个特殊的 电容器 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 5 导体系统的电容  带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容器  电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量  其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围的介质 有关。  电容与两导体所带电荷及其间电位差有如下关系：  电容与导体的带电情况无关。（ ，而E与q成正比）  一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个特殊的 电容器 U q C = ∫ ⋅= 2 1 导体 导体 ldEU   XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 ·电容的求法通常遵循以下步骤： 。1.假设两导体上所带电荷q,并根据实际情况求出电荷分布。 。2.由电荷分布求出电场强度，从而得出两导体电位差 U-=∫Edi 。3.由电容定义求出电容。 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 6 导体系统的电容  电容的求法通常遵循以下步骤：  1. 假设两导体上所带电荷q，并根据实际情况求出电荷分布。  2. 由电荷分布求出电场强度，从而得出两导体电位差  3. 由电容定义求出电容。 ∫ ⋅= 2 1 ldEU   XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 例平行双导线单位长电容(d<<D) 0 。[解]因为d<<D ，导线上的电荷分布可看作是密度为P,的线 电荷，由高斯定理可知： P 2π6o' 瓦，=，Aa 2π8o2 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 7 导体系统的电容  例 平行双导线单位长电容（ ）  [解]因为 ，导线上的电荷分布可看作是密度为ρl 的线 电荷，由高斯定理可知： << Dd << Dd 1 1 0 1 2 2 0 2 2 2 l r l r E a r E a r ρ π ε ρ π ε = − =     XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 在x轴上 2a.2D-可 、2元8X P 两导饰同电为：0-后a-2会 P 2m(D-对 d D-d 2[nx-n(D-x刘]2a 2π80 2πE0 D-xd =eInD-d TE0 单位长度电容： C=PL=- π6 U D-d d 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 8

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 8 导体系统的电容 在x轴上 两导体间电压为： 单位长度电容： ( ) 1 2 0 0 , 2 2 l l E aE x x a x D x ρ ρ πε πε = = −     ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 ln ln ln 2 2 ln D d l l d D d D d l l d d l U E dl dx x Dx x x Dx D x D d d ρ ρ πε πε ρ ρ π ε πε ρ πε − − −   = ⋅= +   −   = −− =     − − = ∫ ∫   d U dD C l − == ln ρ πε 0 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 电位系数 。在n个导体组成的系统中，空间任一点处电 位由所有导体表面的电荷产生； 任一导体的电位也由各个导体表面电荷共同 决定，由叠加原理知，导体i上的电位由n部 分组成： i=l 其中，9，表示导体j对导体电位的贡献 n 。显然，正比于导体j的带电总量 P称之为电位系数，它表征了导体带1C正 电荷而其余导体不带电时导体的电位 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 9 导体系统的电容  电位系数  在n个导体组成的系统中，空间任一点处电 位由所有导体表面的电荷产生；  任一导体的电位也由各个导体表面电荷共同 决定，由叠加原理知，导体i上的电位由n部 分组成：  其中， φij表示导体j对导体i电位的贡献  显然， φij正比于导体j的带电总量  Pij 称之为电位系数，它表征了导体j带1C正 电荷而其余导体不带电时导体i的电位 ∑∑= = == n j ij j n j i ij qp 1 1 ϕϕ i n j 1 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 9=∑0，=2P,9 ·将该式通过线性方程组表示出来： p1=P1191+P1292++P1n9m p2=P2191+P2292+…+P2n9m 0n=Pn191+Pn292+…+Pm9m ●亦可写成矩阵形式 91 Pu P12 91 [o]=[p][q Pz P21 P22 P2n 92 2011年6月10日星期五 ana Pn2 10

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 导体系统的电容  将该式通过线性方程组表示出来：  亦可写成矩阵形式 ∑∑= = == n j ij j n j i ij qp 1 1 ϕϕ 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 n n n n n n n nn n pq pq pq pq pq pq pq pq pq ϕ ϕ ϕ  = + ++   = + ++     = + ++     1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 n n n n n nn n pp pq pp pq pp pq ϕ ϕ ϕ              =                         ϕ = [][ ][qp ] XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

导体系统的电容 以P为例，由电位系数的定义可知： 。导体带正电，电力线自导体出发，终 止于导体上或终止于地面上。 。导体不带电，有多少电力线终止于它， 就有多少电力线自它发出，所发出的电 力线不是终止于其它导体上，就是终止 于地面。 n ● 电位沿电力线下降，其它导体电位必介 于导体的电位和地面电位之间 Ground Pi>P,≥0 电位系数在互易介质中 Pu Pi [e]=[s]T 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn [四=[]P

2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 11 导体系统的电容  以Pij为例，由电位系数的定义可知：  导体j带正电，电力线自导体j出发，终 止于导体i上或终止于地面上。  导体i不带电，有多少电力线终止于它， 就有多少电力线自它发出，所发出的电 力线不是终止于其它导体上，就是终止 于地面。  电位沿电力线下降，其它导体电位必介 于导体j的电位和地面电位之间  电位系数在互易介质中 i n j 1 Ground pp ijjj ≥> 0 jiij = pp T T [] [] [] [] ε ε µ µ = = XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN