西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2018）第4讲 静电场（II）

电磁场与电磁波基础 主讲：徐乐 面安花子作枚大是

电磁场与电磁波基础 主讲：徐乐

第4讲静电场() 。介质中的电场 。边界上的电场 ·电容 导体系统的电容 ·电场能量 ·电场力 2018年3月18日星期日

第4讲 静电场(II) • 介质中的电场 • 边界上的电场 • 电容 • 导体系统的电容 • 电场能量 • 电场力 2018年3月18日星期日 2

介质中的电场 ·介质中的电场是自由电荷和束缚电荷共同激发的； 。 极化介质可以看作有秩序地排列在真空中的电偶极子的集 合，所以介质极化的效应可认为在真空中相应位置上放置 了与束缚电荷数值相等的电荷。 Es=+g,） 0 ·其中Q为S内的自由电荷；Q为S内的束缚电荷 Q,=Le,dv=-IV.Pdv=-fP.ds 小E齿-号.P一s→项(65+5=0 3 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 • 介质中的电场是自由电荷和束缚电荷共同激发的； • 极化介质可以看作有秩序地排列在真空中的电偶极子的集 合，所以介质极化的效应可认为在真空中相应位置上放置 了与束缚电荷数值相等的电荷。 • 其中Q为S内的自由电荷；Qp为S内的束缚电荷 3 lexu@mail.xidian.edu.cn ( ) p S∫ E ⋅ dS = Q + Q 0 1 ε   ∫ ∫ ∫ = = − ∇ ⋅ = − ⋅ V V S p p Q dV P dV P dS    ρ 0 0 0 1 ( ) S SS Q E dS P dS E P dS Q ε ε ε ⋅ =− ⋅⇒ +⋅ = ∫ ∫∫       

介质中的电场 ·电感应强度 D=8E+P 一称为电位移或电感应强度，单位是库仑米2 -介质中的高斯定理，其意义是：电位移矢量穿过介 质中某一闭合曲面S的通量等于S内包围的自由电荷。 D.ds=0 -在真空中，由于P=0,则D=龙，此时上式退化为 真空中的高斯定理，所以它是高斯定理的一般形式， 真空中的高斯定理只是它的一个特例。 4 V.D=V.(EE+P)=p

介质中的电场 • 电感应强度 – 称为电位移或电感应强度，单位是库仑/米² – 介质中的高斯定理，其意义是：电位移矢量 穿过介 质中某一闭合曲面S的通量等于S内包围的自由电荷。 – 在真空中，由于 ，则 ，此时上式退化为 真空中的高斯定理，所以它是高斯定理的一般形式， 真空中的高斯定理只是它的一个特例。 4 lexu@mail.xidian.edu.cn D E P    = ε 0 + D dS Q S ⋅ = ∫   D  P = 0  D E   0 = ε 0 ∇⋅ =∇⋅ + = D EP ( ) ε ρ   

介质中的电场 ·介电常数 一极化强度表征电介质的极化性质，它与电场强度之间 的关系是由介质的固有特性决定的，这种关系称之为 组成关系。 一若P与E同向，则称之为各向同性介质，反之，称之为 各向异性介质； 一若P与E成正比，则称之为线形介质，反之称之为非线 性介质。 一实际上，大多数介质都是线形各向同性介质 5 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 • 介电常数 – 极化强度表征电介质的极化性质，它与电场强度之间 的关系是由介质的固有特性决定的，这种关系称之为 组成关系。 – 若P与E同向，则称之为各向同性介质，反之，称之为 各向异性介质； – 若P与E成正比，则称之为线形介质，反之称之为非线 性介质。 – 实际上，大多数介质都是线形各向同性介质 5 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 ·[例]在一个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q 的电荷，其周围充满均匀介质，介电常数为ε，求 介质中任一点的D,E,φ以及球与介质的交界面上 的束缚电荷，以及介质内束缚体电荷密度Pp· ·[解]由对称性知，D是球对称的，且指向a方向。 如图做高斯面S,由高斯定理： fD.ds=0 D.4π2=Q→D= 号a6- .0a 84er2 o-er-器d-8r 4π87 6 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 • [例] 在一个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q 的电荷，其周围充满均匀介质，介电常数为ε，求 介质中任一点的 ，φ以及球与介质的交界面上 的束缚电荷，以及介质内束缚体电荷密度ρp。 • [解] 由对称性知， 是球对称的，且指向 方向。 如图做高斯面S，由高斯定理： 6 lexu@mail.xidian.edu.cn ε D E,   D  ˆr a r a S D dS Q S ⋅ = ∫   2 2 2 4 4 4 r r Q D Qa D rQD a E r r π π ε πε ⋅ =⇒= ⇒= =      r Q d r r Q d r r Qa E d r r r r r πε πε πε ϕ 4 4 4 2 2 = ⋅ = ⋅ = = ∫ ∫ ∫ ∞ ∞  ∞   

介质中的电场 p=D-6,E=C@ 1-1 4π1 球面上束缚电荷密度另 R,Pa=(a)as=品 0,P,s=As=-gl ,-p吕% Note: 介质中E,p与真空中的区别仅在于将换成8，如 果已知某种电荷分布在真空中的场，将ε。换成ε即 得该电荷分布在介质中的场 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 球面上束缚电荷密度为 Note：介质中 与真空中的区别仅在于将εo换成ε，如 果已知某种电荷分布在真空中的场，将εo换成ε即 得该电荷分布在介质中的场 7 lexu@mail.xidian.edu.cn 0 2 2 1 1 1 1 4 4 r r r a r r Qa Qa PD E P r a ε πε πε =   =− = − ⇒ = −          ( ) 2 1 1 4 S p r Sp r Q Pn P a a ρ ρ π ε   = ⋅ = ⋅ − ⇒ =− −                 = = = − − ∫ ∫ r S S p S QS p S pdS dS Q ε ρ ρ 1 1 2 2 2 11 1 11 1 44 2 r r p rr r Qa Q Q a P r r r ρ π ε πε π ε    = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ − = − − ∇ ⋅ = −          ε r a S E,ϕ 

介质中的电场 ·微分形式的场方程 一由高斯散度定理 B.ds=v.Dav=2=pdvv.B-p)dv=0 因为V是任意的 V.D=P 一由斯托克斯公式 E.di=[VxE.ds=0 因为S是任意的 V×E=0 7.D=p 一静电场的微分形式的基本方程组 V×E=0 D=aE 8 lexu@mail.xidian.edu.cn

介质中的电场 • 微分形式的场方程 – 由高斯散度定理 因为V是任意的 – 由斯托克斯公式 因为S是任意的 – 静电场的微分形式的基本方程组 8 lexu@mail.xidian.edu.cn ⋅ = ∇ ⋅ = = ⇒ (∇ ⋅ − ) = 0 ∫S ∫V ∫V ∫V D dS D dV Q ρ dV D ρ dV     ∇ ⋅ D = ρ  ⋅ = ∇ × ⋅ = 0 ∫l ∫S E dl E dS     ∇ × E = 0       = ∇ × = ∇ ⋅ = D E E D     ε ρ 0

边界上的电场 如果电场中存在两种或两种以上的介质，由于极化效应， 在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷，这层面电荷 在分界面两边产生的场是不一样的，因此在分界面上电场 强度和电位移都将发生突变。 ·介质分界面上各个场量发生突变的规律即为边界条件。 ·推导边界条件应从积分形式的基本方程出发 fE.dI=0 D.ds=0 9 lexu@mail.xidian.edu.cn

边界上的电场 • 如果电场中存在两种或两种以上的介质，由于极化效应， 在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷，这层面电荷 在分界面两边产生的场是不一样的，因此在分界面上电场 强度和电位移都将发生突变。 • 介质分界面上各个场量发生突变的规律即为边界条件。 • 推导边界条件应从积分形式的基本方程出发 9 lexu@mail.xidian.edu.cn D dS Q S ⋅ = ∫   ⋅ = 0 ∫l E dl  

边界上的电场 ·电场强度的边界条件 一在界面上某点处取闭合矩形回路1，其长边分别位于介 质1和介质2中，且紧贴界面，即h0: -为该点处切线方向单位矢量，显然有∥△7 一为该点处法线方向单位矢量： -界面两侧的电场强度分别为E,E, 一静电场电场强度满足： fE.d=0 介质2 介质1 10 lexu@mail.xidian.edu.cn

边界上的电场 • 电场强度的边界条件 – 在界面上某点处取闭合矩形回路l，其长边分别位于介 质1和介质2中，且紧贴界面，即 h→0； – 为该点处切线方向单位矢量，显然有 – 为该点处法线方向单位矢量； – 界面两侧的电场强度分别为 – 静电场电场强度满足： 10 lexu@mail.xidian.edu.cn 介质1 介质2 t ˆ t l ˆ// ∆  nˆ t ˆ nˆ 1 2 E E,   ⋅ = 0 ∫l E dl  