西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2012）10 静态场的解（I）

静磁场Review 磁感应强度；磁通的连续性原理、磁场的散度；安培环路定律、 磁场的旋度；恒定磁场的基本方程；矢量磁位；矢量泊松方程； 磁偶极子及其产生的场；磁介质中的场方程；磁场的边界条件； 标量磁位；互感和自感；恒定磁场的能量、能量密度；磁场力。 ●基本要求 ● 熟练掌握磁通的连续性原理、安培环路定律、恒定磁场的基 本方程、矢量磁位和磁场的边界条件。 掌握电流分布己知时磁感应强度和磁场强度的计算，矢量泊 松方程和磁偶极子及其产生的场，标量磁位、互感和自感、 磁场能量、能量密度、磁场力的概念和求解 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

lexu@mail.xidian.edu.cn 2 静磁场Review  磁感应强度；磁通的连续性原理、磁场的散度；安培环路定律、 磁场的旋度；恒定磁场的基本方程；矢量磁位；矢量泊松方程； 磁偶极子及其产生的场；磁介质中的场方程；磁场的边界条件； 标量磁位；互感和自感；恒定磁场的能量、能量密度；磁场力。  基本要求  熟练掌握磁通的连续性原理、安培环路定律、恒定磁场的基 本方程、矢量磁位和磁场的边界条件。  掌握电流分布已知时磁感应强度和磁场强度的计算，矢量泊 松方程和磁偶极子及其产生的场，标量磁位、互感和自感、 磁场能量、能量密度、磁场力的概念和求解 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

静磁场Review 。重点： 。磁通的连续性原理、安培环路定律、静磁场基本方程和边界 条件的数学表达式及其含意，矢量磁位和标量磁位的定义及 应用。 ·难点： ●静磁场的计算方法、电感的计算。 N.EDU.C lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 3 静磁场Review  重点：  磁通的连续性原理、安培环路定律、静磁场基本方程和边界 条件的数学表达式及其含意，矢量磁位和标量磁位的定义及 应用。  难点：  静磁场的计算方法、电感的计算。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

恒定电流场问题分类 恒定电流1卫=0 dt d.=Ldi×(山×) 安培定律 磁偶极子 4π R m=IS 失量场 恒定电流 恒定电流 介质中恒 电场 磁场 定电流场 电感 2定律 2=岁 U-RI =会∮%* B= 4π R3 M2-当2 ↓ 电荷守恒定律 磁通连续生原理 磁场能量 通量 散度 s-胎小 $B.ds=0 5BS=0 V.B=0 V.J-0 -又·B=0 m.-之w以 环量 ∮，E,d1=0 手，B·n=∑1 f。adn=∫Jd因 1 旋度 口×它=0- V×B=4J V×A=方 =月Bdw 无源区 B=VxA 位函数 E=-vp卜： H=-Vpn 法向 法向 n·J2-j1)=0 疗·(B2-瓦)=0 切向 切向4方×(H2-a,)=J。 边界条件 .拉×E,=n×E2 磁场力 P2-g=0 Pm2一Pm1=0 0=0l 0pm2=0 F-VW F=-VW 场论分析方法

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第10讲静态场的解() ·静态场问题 电荷分布 s p(r)av' 电场分布 p(r)= 4π80 Jv R B(r)=4〔Jr) Kav' R 电流分布 磁场分布 A=了 4πJpR lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 5 第10讲 静态场的解(I)  静态场问题 ( ) 3 V 0 1 ( ') ' 4 R E r r dV R ρ πε = ∫    0 1 ( ') ( ) ' 4 V r r dV R ρ ϕ πε = ∫ 0 3 ( ') ( ) ' 4 V Jr R B r dV R µ π × = ∫    0 4 V J A dV R µ π = ∫   电荷分布 电场分布 电流分布 磁场分布 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

第10讲静态场的解) 静电场问题可分为两类： 。一类是前面讨论的已知源分布求解场的分布型问题； 。一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的己 知条件来求解场的边值型问题。 。边值型问题的空间场分布可化为求解给定边界条件下位 函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。 ·拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数值计 算法、实验模拟法及图解法等方法求解。 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

lexu@mail.xidian.edu.cn 6 第10讲 静态场的解(I)  静电场问题可分为两类：  一类是前面讨论的已知源分布求解场的分布型问题；  一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已 知条件来求解场的边值型问题。  边值型问题的空间场分布可化为求解给定边界条件下位 函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。  拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数值计 算法、实验模拟法及图解法等方法求解。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

●● 第10讲静态场的解(0) 。边值问题的分类 ●唯一性定理 ●镜象原理 VIVERSITY IL.XIDIAN.EDU.C lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 7 第10讲 静态场的解(I)  边值问题的分类  唯一性定理  镜象原理 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

边值问题的分类 。用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件： 。边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题： 。在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空间 即可通过积分公式计算任意点电位； ● 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的电 位值（边值）来确定积分常数： ●对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上的 电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 8

lexu@mail.xidian.edu.cn 8 边值问题的分类  用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件；  边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题；  在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空间 即可通过积分公式计算任意点电位；  对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的电 位值(边值)来确定积分常数；  对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上的 电位边界条件来确定场的分布情况。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

边值问题的分类 ·边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1°已知区域边界上的位函数值： V0=-p/ε（或0） olr=o 荻利克莱(Dirichlet)问题 720=-p/8 2°已知待求函数在区域边界上的法向导数值 00 Neumann问题 onr =Ψ0 3区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 V20=-p8 混合问题 00 Pm证49t =Ψ0 on

lexu@mail.xidian.edu.cn 9 边值问题的分类  边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1º已知区域边界上的位函数值： 2º已知待求函数在区域边界上的法向导数值 3º区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 ( )    = −=∇ Γ 0 2 | 0 ϕϕ ερϕ 或      = ∂ ∂ −=∇ Γ 0 2 ψ ϕ ερϕ n      = ∂ ∂ = −=∇ Γ Γ 0 2 0 1 2 , ψ ϕ ϕϕ ερϕ n 荻利克莱（Dirichlet）问题 Neumann问题 混合问题 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

唯一性定理 一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 。解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； 。解的惟一性：即看是否只有一个解； 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地 只有微小的变动： 。若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 ·定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 10 唯一性定理  一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证：  解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解；  解的惟一性：即看是否只有一个解；  解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地 只有微小的变动；  若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的  定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

唯一性定理 ·格林公式 。再看散度定理 ∫又.fdw=∮F.as 。若令F=0V平，则 V.F=V.(pVΨ)=p72Ψ+V0.7Ψ V-Far=(ov2Ψ+Vo-vyaw 1 w.w-f.w手o器 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 11 唯一性定理  格林公式  再看散度定理  若令F =φ▽Ψ, 则 V S ∇⋅ = ⋅ FdV F dS ∫ ∫     2 ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇Ψ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ F ( ) ϕϕ ϕ  2 ( ) V V ∇ ⋅ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ FdV ϕ ϕ dV ∫ ∫  ( ) VS S FdV dS dS n ϕ ϕ ∂Ψ ∇ ⋅ = ∇Ψ ⋅ = ∂ ∫∫ ∫     XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN