西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2018）第8讲 静态场的解（I）

电磁场与电磁波基础 主讲：徐乐 商安后子州找大是

电磁场与电磁波基础 主讲：徐乐

恒定电流场问题分类 恒定电流dP=0 dt cd2=么Id互x山cd× 磁偶极子 4π R 安培定律 m-IS 矢量场 恒定电流 恒定电流 介质中恒 电场 磁场 定电流场 电感 2定律 U=RI B=会手%R B- 了= AL2=2 磁通连续性原理 磁场能量 电荷守恒定律 通量 ∮=盼 ∮B.S=0 5BS=0 散度 V.B=0 V.7=0 V.B=0 m=空如以 环量 ∮E,dn=0 5,B·n=∑ fAdi=∫Jcd因 3手ia = 旋度 V×它=0 V×B=,J V×H=万 -iS A.Bdv 无源区 位函数 E=-Vp B=V×A H=-Vpn 法向 法向 n·(J2-J1)=0 n(B2-)=0 切向 切向方×(H2-A,)=J8 边界条件 ◆n×E=n×E 磁场力 P:-9=0 Pm2-P =0 a=0 0Pm2=0 F-VW F=-VWilo 场论分析方法

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How? E=-Vo 7b=0 V24=-MoJ B=V×A Laplace Equation =0 H=-Vm 3

How？ 3 E = −∇ϕ 2  0 ρ φ ε ∇ =− B A =∇×   2 ∇ =− A J µ0   H = −∇ϕ m  2 0 ∇ = ϕ m 2 0 Laplace Equation ∇ = φ

第8讲静态场的解() 、静态场问题 电荷分布 s e(rdv' 电场分布 p(）= 4π80 Jv R R3 电流分布 =∫*A 磁场分布 小-会质 lexu@mail.xidian.edu.cn 4

第8讲 静态场的解(I) • 静态场问题 lexu@mail.xidian.edu.cn 4 ( ) 3 V 0 1 ( ') ' 4 R E r r dV R ρ πε = ∫    0 1 ( ') ( ) ' 4 V r r dV R ρ ϕ πε = ∫ 0 3 ( ') ( ) ' 4 V Jr R B r dV R µ π × = ∫    0 4 V J A dV R µ π = ∫   电荷分布 电场分布 电流分布 磁场分布

第8讲静态场的解() 、 静电场问题可分为两类： 一一类是前面讨论的己知源分布求解场的分布型问题； 一一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的 已知条件来求解场的边值型问题。 ·边值型问题的空间场分布可化为求解给定边界条件 下位函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值 问题。 ·拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数 值计算法、实验模拟法及图解法等方法求解。 lexu@mail.xidian.edu.cn 5

第8讲 静态场的解(I) • 静电场问题可分为两类： – 一类是前面讨论的已知源分布求解场的分布型问题； – 一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的 已知条件来求解场的边值型问题。 • 边值型问题的空间场分布可化为求解给定边界条件 下位函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值 问题。 • 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数 值计算法、实验模拟法及图解法等方法求解。 lexu@mail.xidian.edu.cn 5

第8讲静态场的解() ·边值问题的分类 。唯一性定理 ·镜象原理 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

第8讲 静态场的解(I) • 边值问题的分类 • 唯一性定理 • 镜象原理 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

边值问题的分类 ·用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； ·边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题； 一在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空 间即可通过积分公式计算任意点电位； 一对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的 电位值（边值）来确定积分常数； 一对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上 的电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7

边值问题的分类 • 用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； • 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题； – 在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空 间即可通过积分公式计算任意点电位； – 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的 电位值(边值)来确定积分常数； – 对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上 的电位边界条件来确定场的分布情况。 lexu@mail.xidian.edu.cn 7

边值问题的分类 ·边值问题按其边界条件不同可分为三类： 1已知区域边界上的位函数值： 70=-p/ε（或0） r=o 荻利克莱(Dirichlet)问题 V20=-p/e 2°已知待求函数在区域边界上的法向导数值 8p Onr =Ψ0 Neumann问题 3区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 72p=-p/8 混合问题 ap pl,=% 0n2 =Ψ0 8

边值问题的分类 • 边值问题按其边界条件不同可分为三类： lexu@mail.xidian.edu.cn 8 1º已知区域边界上的位函数值： 2º已知待求函数在区域边界上的法向导数值 3º区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 ( )    = ∇ = − Γ 0 2 | 0 ϕ ϕ ϕ ρ ε 或      = ∂ ∂ ∇ = − Γ 0 2 ψ ϕ ϕ ρ ε n      = ∂ ∂ = ∇ = − Γ Γ 0 2 0 1 2 , ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ε n 荻利克莱（Dirichlet）问题 Neumann问题 混合问题

唯一性定理 ·一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 一解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； -解的惟一性：即看是否只有一个解； 一解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应 地只有微小的变动； ·若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 ·定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

唯一性定理 • 一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： – 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； – 解的惟一性：即看是否只有一个解； – 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应 地只有微小的变动； • 若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 • 定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

唯一性定理 ·格林公式 -再看散度定理 jv.Fdw=∮，F.a -若令F=0V平，则 7.F=7.(pVΨ)=p72Ψ+7p.7Ψ .Fdy=j(ov2Ψ+VovΨad v东ow6手es lexu@mail.xidian.edu.cn 10

唯一性定理 • 格林公式 – 再看散度定理 – 若令F =φ▽Ψ, 则 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 V S ∇⋅ = ⋅ FdV F dS ∫ ∫     2 ∇⋅ = ∇⋅ ∇Ψ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ F ( ) ϕϕ ϕ  2 ( ) V V ∇⋅ = ∇ Ψ + ∇ ⋅∇Ψ FdV ϕ ϕ dV ∫ ∫  ( ) VS S FdV dS dS n ϕ ϕ ∂Ψ ∇⋅ = ∇Ψ ⋅ = ∂ ∫∫ ∫    