西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2012）08 恒定电流的磁场（II）

Review F=∮ldi×B 磁感应强度 B=本 Idl×R 4πJG R ● 磁通连续性原理 V.B(r)=0 Φ=本B·d=0 安培环路定律 V×B(r)=4J(r) 5Br)-dl=4,1 恒定磁场的基本方程 ·矢量磁位 B=V×A V2A=-MoJ A= lexu@mail.xidian.edu.cn 2

lexu@mail.xidian.edu.cn 2 Review  磁感应强度  磁通连续性原理  安培环路定律  恒定磁场的基本方程  矢量磁位 1 0 1 1 3 4 C I dl R B R µ π × = ∫     l F Idl B = × ∫     ∇⋅ = B r() 0  0 S Φ= ⋅ = B dS ∫    0 ∇× = Br Jr () () µ   0 ( ) l B r dl I ⋅ =µ ∫    B A =∇×   2 ∇ =− A J µ0   0 4 V J A dV R µ π = ∫   XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

第8讲恒定电流的磁场（山） ·磁偶极子 ·磁介质的磁化 ●1 磁场强度 INIVERSITY 磁介质中的场方程 ●恒定磁场的边界条件 .XIDIAN.EDU.CN lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 3 第8讲 恒定电流的磁场(II)  磁偶极子  磁介质的磁化  磁场强度  磁介质中的场方程  恒定磁场的边界条件 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 ·回顾电偶极子 ●电位： p(F)= 4π0 ●电偶极矩： p=ql p()=万·F 4π8r 电场强度： ()= 3(D)-币 4π6r3 球坐标系表示： E= 3(a,2cos0+a。sing) 4π8 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 4 磁偶极子  回顾电偶极子  电位 ：  电偶极矩：  电场强度：  球坐标系表示： ) 2 1 2 1 ( 4 )( 0 l r l r q r      + − − = πε ϕ ( ) 3 4 0 r rp r πε ϕ   ⋅ lqp =   = ( ) ( ) 3 2 0 1 3 4 p r E r r p πε r r   ⋅ =   −         ( θθ ) πε θ 2cos sin 4 3 0 a a r p E r   = + XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 。「考察]线度很小任意电流环的磁感应强度 。 线度很小：电流环尺寸相对观察点距离而言足够小 ● 取坐标原点O,使r'不超过 环的线度，>>r r-K A=「I面 4πJ1R 及5n红 1 2 104d+-rm

lexu@mail.xidian.edu.cn 5 磁偶极子  [考察]线度很小任意电流环的磁感应强度  线度很小：电流环尺寸相对观察点距离而言足够小  取坐标原点O，使r’不超过 环的线度，r>>r’ I O r’ r dl’ 0 4 l Idl A R µ π = ∫   1/2 2 2 2 1/2 2 1/2 2 2 1 1 ' 2' ( ' 2 ') 1 1 2' 1 ' 1 1 r rr r r rr R rr r r r r r r r rr − − −     ⋅ = +−⋅ = + −            ⋅ ⋅ ≈− ≈+               0 3 1 1 [ ( )] 4 l l I A dl r r dl r r µ π = +⋅ ′ ′′ ∫ ∫        XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 a-∮+∮c.fd 4元 ·由矢量叠加性质可知，积分第一项结果为零： ● 矢量恒等式： ∮ar=jxvu V(AB)=A×(V×B)+(A.V)B+B×(V×A)+(B.V)A ·积分第二项： ∮rral=dxv7=sx7 ·代入可得： a=人xr-r lexu@mail.xidian.edu.cn 6

lexu@mail.xidian.edu.cn 6 磁偶极子  由矢量叠加性质可知，积分第一项结果为零；  矢量恒等式：  积分第二项：  代入可得： 0 3 1 1 [ ( )] 4 l l I A dl r r dl r r µ π = +⋅ ′ ′′ ∫ ∫        S ' l udl ds u ′ ′′ = ×∇ ∫ ∫    ' () () S S l r r dl ds r r ds r ⋅ = ×∇ ⋅ = × ′′ ′ ′ ′ ′ ∫∫ ∫        ∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇ ( ) ( )( ) ( )( ) AB A B A B B A B A         0 0 3 3 ' ' ( ) 4 4 S S I A ds r I ds r r r µ µ π π = ×= × ′ ′ ∫ ∫     XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 ·磁偶极矩 m=小 p=ql Note1:m称之与电流环对应的磁偶极子的磁偶极 矩 。Note2:单位A.m2(安培.平方米) ·定义S为电流环对应的面积矢量，则 A=历xF 4πr3 Note:以I为周界的曲面S虽然是任意的，但其面积 矢量S却是确定唯一的，因此只要电流环确定，则 磁偶极矩确定且唯

lexu@mail.xidian.edu.cn 7 磁偶极子  磁偶极矩  Note1：m称之与电流环对应的磁偶极子的磁偶极 矩  Note2：单位A.m2（安培.平方米）  定义S为电流环对应的面积矢量，则  Note：以l为周界的曲面S虽然是任意的，但其面积 矢量S却是确定唯一的，因此只要电流环确定，则 磁偶极矩确定且唯一 S ' m I ds = ′ ∫   0 3 4 m r A r µ π × =    lqp   = S ' S ds = ′ ∫   XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 ●电流环的磁感应强度： B=V×A Pxmx产 3=V黄×(m×)+3V×(mX剂 Fx(mx)+m(.F)-(m)] 3 [mr·)-(mF刃+(3m-m) 53(m)F-r2m列 B=6[3(ma)a,-m] lexu@mall.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 8 磁偶极子  电流环的磁感应强度： B A =∇×   33 3 5 3 5 3 2 5 1 1 () () 3 1 ( ) [ ( ) ( )] 3 1 [ ( ) ( )] (3 ) 1 [3( ) ] m r mr mr rr r r mr m r m r r r mr r rmr m m r r mrr rm r × ∇× =∇ × × + ∇× × = − × × + ∇⋅ − ⋅∇ =− ⋅ − ⋅ + − = ⋅−                   0 3 [3( ) ] ˆˆ 4 B ma a m r r r µ π = ⋅−    XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 。若磁偶极矩沿z轴方向，即当m=a.n时： A=a Momsin ·相应地磁感应强度为： Anr2 Bom (a2c0s0+do sin g E- (a,2cos0+a sin 0) 4π8r 01 Note:磁偶极子产生的磁场和电偶极子产生的电场 有着相同的表达形式，但两者在物理本质上有差别， 表现在极子附近的场分布不同，B线闭合而E线不 闭合 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 9 磁偶极子  若磁偶极矩沿z轴方向，即当 时：  相应地磁感应强度为：  Note：磁偶极子产生的磁场和电偶极子产生的电场 有着相同的表达形式，但两者在物理本质上有差别， 表现在极子附近的场分布不同，B线闭合而E线不 闭合 ˆ m am = z  0 2 sin ˆ 4 m A a r ϕ µ θ π =  0 3 ( 2cos sin ) ˆˆ 4 r m Ba a r θ µ θ θ π = +  ( θθ ) πε θ 2cos sin 4 3 0 a a r p E r   = + XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁偶极子 ·外磁场中的磁偶极子 ●作用力 F=(m.V)B 。力矩 T=mxB e Note1:若外磁场均匀，则外磁场对磁偶极子的作用力为零， 磁偶极子仅会受到力矩的作用 M=p×E 。Note2:磁偶极子在外电场受到的力矩使磁偶极矩m沿B方向 取向 ●Note3:当m与B同向时，所受力矩为零，且处于低能量的稳 态，而反向时，虽磁偶极矩力矩仍为零，但出于高能量的非 稳态。 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 10 磁偶极子  外磁场中的磁偶极子  作用力  力矩  Note1：若外磁场均匀，则外磁场对磁偶极子的作用力为零， 磁偶极子仅会受到力矩的作用  Note2：磁偶极子在外电场受到的力矩使磁偶极矩m沿B方向 取向  Note3：当m与B同向时，所受力矩为零，且处于低能量的稳 态，而反向时，虽磁偶极矩力矩仍为零，但出于高能量的非 稳态。 Fm B = ⋅∇ ( )    T mB = ×    M pE = ×    XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

磁介质的磁化 。 物质分子内部由于电子的自旋和轨道运动形成电流 。不同物质分子内部电子排列不同，有的物质分子内所有电子 运动形成的电流不能相互抵消，每个分子都是一个小电流环， 即磁偶极子，分子具有固有磁矩。无外加磁场时，由于固有 磁矩的任意排列，分子电流互相抵消，物质对外不显示磁性。 在外磁场作用下，分子固有磁矩都顺磁场方向排列，分子电 流产生的磁场与外磁场相迭加，使物质内部的磁场加强，这 种物质称顺磁性物质。 有的物质分子内各电子运动所形成的电流互相抵消，分子无 固有磁矩，对外不显磁性。在外磁场作用下，电子运动状态 将发生变化，电流不再相互抵消，形成分子电流，产生分子 磁矩。这种分子磁矩与外磁场方向相反，产生的磁场与外磁 场相互抵消，使物质内部磁场减弱，这种物质称反磁物质 (或抗磁性物质)。 还有一种磁介质称为铁磁性磁介质 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 11 磁介质的磁化  物质分子内部由于电子的自旋和轨道运动形成电流  不同物质分子内部电子排列不同，有的物质分子内所有电子 运动形成的电流不能相互抵消，每个分子都是一个小电流环， 即磁偶极子，分子具有固有磁矩。无外加磁场时，由于固有 磁矩的任意排列，分子电流互相抵消，物质对外不显示磁性。 在外磁场作用下，分子固有磁矩都顺磁场方向排列，分子电 流产生的磁场与外磁场相迭加，使物质内部的磁场加强，这 种物质称顺磁性物质。  有的物质分子内各电子运动所形成的电流互相抵消，分子无 固有磁矩，对外不显磁性。在外磁场作用下，电子运动状态 将发生变化，电流不再相互抵消，形成分子电流，产生分子 磁矩。这种分子磁矩与外磁场方向相反，产生的磁场与外磁 场相互抵消，使物质内部磁场减弱，这种物质称反磁物质 （或抗磁性物质）。  还有一种磁介质称为铁磁性磁介质 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN