西安电子科技大学：《电磁场与电磁波基础》课程教学课件（讲义，2012）09 恒定电流的磁场（III）

Review F=(m.V)B 磁偶极子 m=小s A=Lomxr 4π3 T=m×B ·磁介质的磁化 M=lim ∑m AV-0△V jm=V×MJms=M×i H- B-M 磁场强度 B=,o= VxH-j ∮开.di=Jd ●磁介质中的场方程 7.B=0 ∮Bas=0 ·恒应，磁扬的边界条件 B=uFl n×(i2-i)=Js lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 2 Review  磁偶极子  磁介质的磁化  磁场强度  磁介质中的场方程  恒定磁场的边界条件 S m I ds      0 3 4m r A r       Fm B  ( )     T mB      0 lim V m M   V      ˆ mS J  M n    m J    M   0 B H M       B HH   r  0    0 H J B        0 C S S H dl J dS B dS                 B  H   2 1 nB B ˆ( )0     2 1 ˆ ( ) S nH H J      XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

第9讲恒定电流的磁场（川） ·标量磁位 。恒定磁场与静电场的比拟 ·电感 ·磁场能量 RSIT ·磁场力 N.EDU.CN lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 3 第9讲 恒定电流的磁场(III)  标量磁位  恒定磁场与静电场的比拟  电感  磁场能量  磁场力 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 ●对于恒定磁场，无论是否有电流分布，均可引入磁矢位 来确定磁场分布 ·对于无电流分布的区域或存在永磁体的区域，可以引入 标量磁位中m。 。无电流区域的安培环路定律：V×i=0i=-Vpm ·均匀介质磁通连续性原理： V.B=0→7.i=0 。标量磁位的拉普拉斯方程： V2opm =0 。Φm为磁场的标量位函数，简称标量磁位 ·沿磁力线方向标量磁位降低

lexu@mail.xidian.edu.cn 4 标量磁位  对于恒定磁场，无论是否有电流分布，均可引入磁矢位 来确定磁场分布  对于无电流分布的区域或存在永磁体的区域，可以引入 标量磁位φm。  无电流区域的安培环路定律：  均匀介质磁通连续性原理：  标量磁位的拉普拉斯方程：  φm为磁场的标量位函数，简称标量磁位  沿磁力线方向标量磁位降低   H 0  H   m      B H 0 0   2 0   m  XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 V2on=0 V2p=0 。Note:标量磁位满足的方程形式与电位方程一致，可 以采用与静电场同样的求解方法 ·标量磁位的边界条件 9m1=9m2 aQmL三lhan 山o0 00m2 。Note1:磁标位可方便求解无源区磁场 ●Note2:永磁体中无自由电流，可用磁标位求解，而 永磁体的磁导率远大于空气磁导率，因而空气 中的磁力线几乎垂直永磁体表面，其表面成为 等位面，可用静电比拟法求解。 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 5 标量磁位  Note：标量磁位满足的方程形式与电位方程一致，可 以采用与静电场同样的求解方法  标量磁位的边界条件  Note1：磁标位可方便求解无源区磁场  Note2：永磁体中无自由电流，可用磁标位求解，而 永磁体的磁导率远大于空气磁导率，因而空气 中的磁力线几乎垂直永磁体表面，其表面成为 等位面，可用静电比拟法求解。 2 0    m 2    0  m m 1 2   1 2 1 2 m m n n          XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 ·非均匀介质的标量磁位方程 非均匀介质的磁通连续性原理V·B=,(V·H+·M)=0 ·引入等效磁荷体密度： Pn=-V.M 。磁场强度的散度： V.H=Pn ● 标量磁位的泊松方程：Vpm=-Pm 。非均匀介质的标量磁位方程满足的边界条件： Pm =Om2 00ml一Psm1 lomu mai widian.edu pm2十Psm2

lexu@mail.xidian.edu.cn 6 标量磁位  非均匀介质的标量磁位方程  非均匀介质的磁通连续性原理  引入等效磁荷体密度：  磁场强度的散度：  标量磁位的泊松方程：  非均匀介质的标量磁位方程满足的边界条件： 0      B HM  ( )0     m    M   H  m    2   m m    m m 1 2   1 2 sm1 sm2 m m n n           XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 ·在磁化介质的表面一般会存在等效面磁荷 =M.n sm 。其中n是介质面的外法向，由介质指向真空 ·由于磁场是一个涡旋场，所以标量磁位是一个多值函 数，需要结合相应的边界条件来确定磁标位 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 7 标量磁位  在磁化介质的表面一般会存在等效面磁荷  其中n是介质面的外法向，由介质指向真空  由于磁场是一个涡旋场，所以标量磁位是一个多值函 数，需要结合相应的边界条件来确定磁标位 ˆ sm  M  n  XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 。对于已知电流分布的载流回路，其产生的磁感应强度为： 。回顾矢量公式 ∮al=∫dsxu )-xp日西 4π R 4π lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 8 标量磁位  对于已知电流分布的载流回路，其产生的磁感应强度为：  回顾矢量公式 0 ( ) 4 l I dl B r R          S l udl ds u        0 1 ( ) ˆ 4 S I B r ndS R          0 3 ( ) ˆ 4 S I R B r ndS R          XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 4π 。回顾立体角定义： .d5 2=Φ R B()= R'.dS" 4π Js R3 B）=4g)=-4vp. 4π lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 9 标量磁位  回顾立体角定义： 3 S R dS R        0 3 ' ( ) ˆ 4 S I R B r n dS R         0 0 () ( ) 4 m I B r          0 3 ' ( ) 4 S I R dS B r R          XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 ·例1用磁标位法计算半径为a的载流圆环在轴线上的磁场 ·[解]坐标系如图所示 计算载流回路张成的曲面对场点(0,0，z)的张角： (0,0,2） 以场点为球心，过圆环作球面，显然半径： R=Va+22 以环路为边界截取的球冠面积为： S=2πR(R-z) 回路方向与球冠法向成左手关系，即方向相反，所以： S 2-- 2π(R-z） R2 R lexu@mail.xidian.edu.cn 10

lexu@mail.xidian.edu.cn 10 标量磁位  例1 用磁标位法计算半径为a的载流圆环在轴线上的磁场  [解]坐标系如图所示 计算载流回路张成的曲面对场点(0,0,z)的张角： 以场点为球心，过圆环作球面，显然半径： 以环路为边界截取的球冠面积为： 回路方向与球冠法向成左手关系，即方向相反，所以： 2 2 R  a z  S RR z  2( )   2 S Rz 2( ) R R     z x (0,0,z) y XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN

标量磁位 利用磁标位与张角的关系可知： IQ Pu= 4π 磁标位激发的磁场为： =%la2 lexu@mail.xidian.edu.cn

lexu@mail.xidian.edu.cn 11 标量磁位 利用磁标位与张角的关系可知： 磁标位激发的磁场为： 4 m I      0 0 0 0 0 2 0 3 ( ) ( ) ( ) (1 ) 42 2 ( ) ˆ 2 ˆ 2 zm z z z z z I Rz z I I B r R R I z a z R I a a R                        XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN