天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第五章 定积分（5.1）定积分的概念与性质

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 第二节微积分基本公式 第三节定积分的换元法和分部积分法 第四节反常积分

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分

天津工大学 Teaching Plan on Advanced Mathematicso 第一节定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 三、定积分的性质 返回 Tianjin Polytechnic University

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x)(∫(x)≥0) y=/(x) x轴与两条直线x=a、 A=? x=b和y=0所围成 0|a

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 1 曲边梯形的面积 y = f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a、 一、定积分问题举例 y = f (x) x = b 和 y = 0 所围成

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 0 b b x (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯 形面积

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯 形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲边梯形如图在区间[a,b内插入若干个分点 I=<x<X<…<x n-In 把区间[,b分成n 个小区间[xa1,x 长度为△x;=x2-x1; 在每个小区间[x1a1,x 上任取一点 o a 5x: xm-b x 以x1,x为底,f()为高的小矩形面积为 A2=f(5;)Ax

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲边梯形如图 , 0 1 2 1 [ , ] x n b n a x x x x a b  = − =    在区间 内插入若干个分点， a b x y o  i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − −  i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲边梯形面积的近似值为 A≈∑f(5x i=1 当分割无限加细,即小区间小区间的最 =max{△x1,Ax2,…Axn} 趋近于客(→>0)时, 曲边梯形面积为A=lim∑f(5)x 1-0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间小区间的最 (λ 0) λ max{ x ,Δx , Δx } , 1 2 n → =   i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形面积为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间 隔[T1,T2上t的一个连续函数,且v(t)≥0,求物 体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作 不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t)是时间间 隔[ , ] T1 T2 上 t的一个连续函数，且v(t)  0，求物 体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作 不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值， 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (1)分割T=t0<1<t2<…<tn1<tn=T2 ≈v(;)A 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑v7)△M (3)取极限λ=max{△千,△ 29 路程的精确值S=im∑v(τ) 况→)0 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics （1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t =    n−  n =  i = i − i−1 t t t i i i s  v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s  v t = ( ) 1  （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n  = t t  t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0  路程的精确值  返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、定积分的定义 定义设函数f(x)在{a,b上有界,在a,b中任意插入 若干个分点a=x<x,<x<…<x,<x=b 把区间[a,b分成n个小区间,各小区间的长度依次为 Av=x1-x1,(=1,2,…),在各小区间上任取 一点5(5∈△x;),作乘积f(5)Ax;(i=1,2,…) 并作和S=∑f()△x1 i=1 记九=max{△x1,△x2,…,Axn},如果不论对a,b

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 记 max{ , , , }  = x1 x2  xn ，如果不论对[a,b] 二、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在 [a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0  1  2  n−1  n = 把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i  （ i i   x ），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1  ， 定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 怎样的分法,也不论在小区间x11,x:让上 点5怎样的取法,只要当→0时,和S总趋于 确定的极限,我们称这个极限为函数f(x) 在区间[a,b上的定积分,记为 分上限 积分和 f(x)d==lm∑/5△ 积分下限 被积函数 积 被积表达式 a,b积分区间 分变量

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 怎样的分法， 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法， 只要当 → 0时， 和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为  = = b a f (x)dx I i i n i  f x = → lim ( ) 1 0   被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 [a,b]积分区间 积分上限 积分下限 积分和