天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 导数与微分（2.5）函数的微分

天津工紫大学 Teaching Plan on Advanced Mathematicso 第五节函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分在近似计算中的应用 返回 Tianjin Polytechnic Mniversity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、微分的定义 二、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 第五节 函数的微分 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 微分的定义 问题的提出 块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长 由x0变到x0+△x(如图),问此薄片的面积 改变了多少? 设边长由x变到x0+△x, 正方形面积A= 05 ∷△4=(x0+△x)2-x =2x0·△x+(△x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、微分的定义 问题的提出 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？ 0 x x0 + x 2 A = x0 0 x x0 x x 2 (x) x0x x x 0 , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) (2)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (1):Ax的线性函数且为△的主要部分; (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略 般地如果函数fx)满足一定条件,则函数的增量4y可表示 为 △y=A△x+o(△x) 其中A是不依赖于△x的常数,因此A△v是Ax的线性函数,且它与 Δy之差 △y-A△x=0(△x) 是比A高阶的无穷小,所以,当A≠0,且△x很小时,我们就可 以近似地用AAx来代替y

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): 一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示 为 y y = Ax + o(x) 其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差 x Ax x y y − Ax = o(x) 是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替 x A 0 x Ax y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义设函数y=fx)在某区间内有定义,x0及x+Ax在 这区间内,如果函数的增量 y=∫(x0+△x)-f(x0) 可表示为 Δy=A△x+O(△x) 其中A是不依赖于Δx的常数,而0(Δx)是比Ax 高阶的无穷小,那么称y=x)在点x是可微的, 而AA叫做函数y=x)在点x相应于自变量增 量△x的微分,记作dy,即中=A△x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在 这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即 0 x x0 + x ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f y = Ax + o(x) o(x) 0 x Ax 0 x dy = Ax x x x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 由定义知: (1)小是自变量的改变量的线性函数 (2)4y-y=0(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠Q时,d与△y是等价无穷小; =1+?4p △ →1(△x→>0 A·△v (4)A是与△x无关的常数但与f(x)和x有关 (5)当△x很小时,y≈(线性主部

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A  0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x    = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (5)当x很小时,y  dy (线性主部). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 由定义知:

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理:yf(x)在x可微的充分必要条件是fx)在x处 可导,且当(x)在点x可微时,其微分一定是 证明(1)必要性∵f(x)在点x1可微 ∴=A·△x+0(△x), 4N√O(△x △ 则im Ay=A+im 0(△x) Δx→0△x △ 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x)

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是 0 x 0 x 0 x dy = f (x0 )x (1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f  x 证明

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (2)充分性∵函数f(x)在点x1可导 △ im=f(x0),即 △ f∫'(x0)+α, △x→0△v 从而△y=f(x0)·△x+a·(△x),:α→>0(△x→>0), ∫(x0)·Δx+0(△x), 函数f(x)在点x可微,且∫(xn)=A 可导可微.A=f(x)

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) ( ), 从而 y = f  x0  x +  x ( ) , =  0 +    f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      →  → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f  x0  x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f  x0 = A . ( ). 0 可导 可微 A = f  x (2) 充分性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求函数=x2在x=1和x=3处的微分 解函数y=x2在x=1处的微分 d=(x2yx=△x=2△x; 在x=3处的微分 d=(xyx3△x=6△ 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或f(x),即小=∫(x)x 例2求函数y=x3当x=2,Ax=00时的微分 解 小y=(xy△x=3x2△x. 3x2△ 0.24. x=2 △r=0.02 △r=0.02

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求函数y = x 2 在x = 1和x = 3处的微分 解 函数y = x 2 在x = 1处的微分 ( ) 2 ; 1 2 dy = x  x= x = x 在x = 3处的微分 dy = (x ) x=3 x = 6x 2 , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x =   = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 例2 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当x = x = 时的微分 解 dy = (x )x 3  3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3  = =  =  = =  x x x dy x x x = 0.24

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分 记作x,即=Ax b=r(x.=中=r(x) dx 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也呻微商" 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics dy = f (x)dx. f (x). dx dy =  该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当Ay是曲线的纵 坐标增量时, y=f(x) 就是切线纵坐标 对应的增量 x0+△x 当△x很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o  x . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当  很小时 在点 的附近 几何意义:(如图) 二、微分的几何意义 返回