天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 导数与微分（2.1）导数概念

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二章导数与微分 第一节导数概念 第二节函数的求导法则 第三节高阶导数 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数相关变化率 第五节函数的微分 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节 函数的微分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节导数概念 引例 导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系 「返回 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻,运动时间△, △t 平均速度v △sS-Sg (t0+t) △tt-t 2 当t→>t时,取极限得 瞬时速度v=im3(t+0 gto r→to 2 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度 △sd v(t)=lim △→0△tdt Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 t, t s v   = 0 t t t 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t . 瞬时速度 = gt0 0 当 t → t 时, 如图,求t0时刻的瞬时速度, 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g 平均速度 = + 取一邻近于t0的时刻t, 运动时间 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t =   =  →

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2切线问题割线的极限位置一—切线位置 10 1.251.51.7522.252.52.75 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 如图如果割线MN绕点M y=f(r) 旋转而趋向极限位置MT,直 线MT就称为曲线C在点M处 的切线 C M 极限位置即 MN→>0,∠MMT→0 xx 设M(x,y),N(x,y 割线MN的斜率为taw2A-ynf(x)-f(x) r-l 0 N、沿曲C>M、x⊥0 0 切线MT的斜率为k=tna=im3(x)-f(x) x-x 「返回 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics   T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图 如果割线MN绕点M 旋转而趋向极限位置MT,直 线MT就称为曲线C在点M处 的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. , , 0 N M x x ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 返回 ( , ), ( , ). 0 0 M x y N x y 0 0 tan x x y y − −  = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = 设 割线MN的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − =  = → 切线MT的斜率为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、导数的定义 1函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Ax(点 x+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量y=∫(x+△x)-f(x);如果与 △x之比当Ax→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数p=f(x)在点x处的导数记为1= Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、导数的定义 定义 ( ) , ( ) 0 ( ) ( ); ) ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = =  =   →  = +  −  +   = 数 在 点 处的导数,记 为 在 点 处可导,并称这个极限为函 之比当 时的极限存在,则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 , 相应地函数 取 有定义,当自变量 在 处取得增量 点 设函数 在 点 的某个邻域内 1 函数在一点处的导数与导函数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 中y 或 df(x) 即 Ay f(xn+△x)-f(xn) y|x=x△x→0△c△r→0 = △ 其它形式 f(o=lim ∫(x0+h)-f(x0) h→0 h f(ro=lim f(r)-f(x x→ Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + −  = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = → x x0 dx dy = x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 即 0 , ( ) x x0 dx df x 或 =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于导数的说明: ★点导数是因变量在点处的变化率它 反映了因变量随自变量的变{变化的快 慢程度 ★如果函数y=f(x)在开区间内的每点 处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 慢程度. 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 ( ) . ( ) 处都可导,就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I 关于导数的说明： ★ ★

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ★对于任一x∈l,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值.这个函数叫憾原来函数f(x)的导函数 记作y,f(x,2或(x) 即y=lim ∫(x+△x)-f(x) △->0 △v 或f(x)=lim f(x+h)-∫(x) h→0 h 注意:L.f(x)=f(x Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) , ( ), ( ) , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记 作 或 导数值.这个函数叫做原来函数 的导函数. 对于任一 都对应着 的一个确定的    注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x =  =  ★ . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + −  = → x f x x f x y x  +  −  =  → ( ) ( ) lim 0 即 或

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2求导数举例 步骤:(1)求增量Δy=f(x+△x)-f(x); (2)算比笸_。∫(x+△x)-f(x) △ △ (3)求极限y=imn4y △x+0△v 例1求函数f(x)=C(C为常数的导数 解f(以)=mimf(x+h)-f(x)=mC =0 h→>0 h h→01 (C)=0 Tianjin Polytechnic

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h C C h − = →0 lim = 0. 2 求导数举例 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) x f x x f x x y  +  − =   (2)算比值 lim . 0 x y y x    =  → (3)求极限 即 (C) = 0