天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.6）函数图形的描绘

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节函数图形的描绘 利用函数特性描绘函数图形 第一步确定函数y=∫(x)的定义域对函数进行奇偶 性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论求出函数的 阶导数f(x)和二阶导数∫(x); 第二步求出方程∫(x)=0和f(x)=0在函数定义域 内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数不存在的 点把函数的定义域划分成几个部分区间 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数 y = f (x)的定义域,对函数进行奇偶 性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的 一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义域 内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的 点把函数的定义域划分成几个部分区间. 第六节 函数图形的描绘 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三步确定在这些部分区间内∫(x)和f(x)的符号,并 由此确定函数 第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线 以及其他变化趋势; 第五步描出与方程∫(x)=0和f(x)=0的根对应的 曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综合前四步讨论 的结果画出函数的图形 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三步 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的符号，并 由此确定函数 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线 以及其他变化趋势; 第五步 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对应的 曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论 的结果画出函数的图形. 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1作函数f(x) 4(x+1) 2 2的图形 解D:x≠0,非奇非偶函数,且无对称性 ∫(x)=-4x+2,f"(x)= 4(x+ 令∫(x)=0,得驻点x=-2, 令∫"(x)=0,得特殊点x=-3 imf(x)=im/(x+1)-2=-2, x→0 x→0 得水平渐近线y=-2; 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 2 . 4( 1) ( ) 作函数 2 − 的图形 + = x x f x 解 D : x  0, 非奇非偶函数,且无对称性. , 4( 2) ( ) 3 x x f x +  = − . 8( 3) ( ) 4 x x f x +  = 令 f (x) = 0, 得驻点 x = −2, 令 f (x) = 0, 得特殊点x = −3. 2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 − + = → → x x f x x x = −2, 得水平渐近线 y = −2; 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics lim f(x)=lim 4(x+1) →0 2 得铅直渐近线x=0 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 3)-3(-3,-2)-2(-2,0)0(0,+∞) 0+ 存 0+ 拐点 极值 3 3 断 点 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 0 0 − + = → → x x f x x x = +, 得铅直渐近线 x = 0. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x (−,−3) − 3 (−3,−2) (−2,0) (0,+) f (x) f (x) + − + 0 f (x) 0 − 2 0 − − − + + 不存在 拐点 极值点 间 断 9 ) − 3 点 26 (−3,− 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 补充点:(1-3,0),(1+3,0); A(-1,-2),B(1,6),C(2,1) 作图 6 B 3-2-1 2 12…3 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 补充点: (1− 3,0), (1+ 3,0); A (−1,−2), B (1,6), C (2,1). 作图 x y o − 2 − 3 2 1 − 3 − 2 − 1 1 6 A B C 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2作函数q(x)=e2的图形 √2兀 解D:(-∞,+0),W:0<9(x)≤=≈04 2兀 偶函数,图形关于y轴对称 φp(x) cp(x)= (x+1)(x-1) 2π 令q(x)=0,得驻点x=0, 令q"(x)=0,得特殊点x=-1,x=1 lim op(x)=lim e2=0 x→0 2π 得水平渐近线y=0 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 . 2 1 ( ) 2 2 作函数 的图形 x x e −   = 解 D :(−,+), 偶函数,图形关于y轴对称. , 2 ( ) 2 2 x e x x −   = − 令 (x) = 0, 得驻点 x = 0, 令 (x) = 0, 得特殊点x = −1, x = 1. 0.4. 2 1 : 0 ( )   W   x  . 2 ( 1)( 1) ( ) 2 2 x e x x x −  + −  = − 2 2 2 1 lim ( ) lim x x x x e − → →    = = 0, 得水平渐近线 y = 0. 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点 x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+) (x) +|0 +人 0+ 拐点 围拐点 2兀 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x (−,−1) − 1 (−1,0) (0,1) (1,+) (x) (x) + − + 0 (x) 0 0 1 − − + + − 拐点 极大值 2 1 ) 2 1 ( 1, e − 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点: 0 拐点 ) 2 1 (1, e x y o − 1 1 2 1 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3作函数f(x)=x3-x2-x+1的图形 解D:(-∞,+∞),无奇偶性及周期性. ∫(x)=(3x+1)(x-1),∫"(x)=2(3x-1) 令∫(x)=0,得驻点x 3 令∫"(x)=0,得特殊点x= 3 补充点:A(-1,0,B(0,1,C(, 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点 与拐点: 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 ( ) 1 . 作函数 f x = x 3 − x 2 − x + 的图形 解 D :(−,+), 无奇偶性及周期性. f (x) = (3x + 1)(x −1), f (x) = 2(3x − 1). 令 f (x) = 0, , 1. 3 1 得驻点 x = − x = 令 f (x) = 0, . 3 1 得特殊点 x = 补充点: A (−1,0), B (0,1), ). 8 5 , 2 3 C ( 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点 与拐点: 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics x-22a f(x)+|0 0+ 拐点 极小 ∫(x) 论3 16 27 B(0,1) 28 A(-1,0) 1 0 x|返叵 2004-4-10 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x ) 3 1 (−,− ) (1,+) 3 1 , 3 1 (− 3 1 − ,1) 3 1 ( + − + 0 3 1 1 − − + − + 极大值 拐点 27 32 ) 27 16 , 3 1 ( 0 f (x) f (x) f (x) 极小值 0 x y o A (−1,0) B (0,1) ) 8 5 , 2 3 C ( − 1 1 3 1 3 1 − 2004-4-10 返回