天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.3）泰勒公式

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节泰勒公式 泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表 示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式 在利用微分作近似计算时 f(x)-f(x0)=f(x0(x-x0)+0(x-x) f(x)≈f(x0)+f(x)(x-x)(当x→x0时) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表 示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式. 第三节 泰勒公式 在利用微分作近似计算时 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 x0 x x0 o x x0 f x − f x = f  − + − ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f x + f  − (当 时) x → x0 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 不足:1、精确度不高;2、误差不能估计. 问题:寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数f(x)在含有x0的开区间a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 误差Rn(x)=f(x)-P(x) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x)  P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到an+1)阶导数,试找 出一个关于(x-x)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…an(x-x0)(1) 来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x)高阶的 无穷小,并给出误差f(x)-Pn(x)的具体表达式 假设Pn()与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得 ∫"(x0) f("(x0) o=f(x0),a1=f(x0,a2 9 2! 将求得的系数ana1,a2,…,an代入(1)式,有 Pn(x)=f(o)+f(o(x-xo)+ ∫"(x0) (x-x0)2+ n 2! x-l n 0 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 将求得的系数 a0,a1,a2,…,an代入(1)式,有 ! ( ) , , 2! ( ) ( ), ( ), 0 ( ) 0 0 0 1 0 2 n f x a f x a f x a f x a n n =  = =  =  − +  = +  − + 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x pn x f x f x x x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − (2) 来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0) n高阶的 无穷小,并给出误差|f(x)- Pn(x)|的具体表达式. 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找 出一个关于(x-x0)的n次多项式 n pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 + − (1) 假设Pn(x)与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开 区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内 时,∫(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个 余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f'(x0)(x-x0)+ x- 2 0 十∴十 (n)(Xo(X 0)”+Rn( (n+1) 其中Rn(x)= (2 (x-x)(5在x与x之间) (n+1)! 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 0 x 的某个开 区 间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当 x在(a,b)内 时, f (x)可以表示为( ) x − x0 的一个n次多项式与一个 余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + −  = +  − +  其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ( 在x0与x之间). 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:由假设,Rn(x)在(,b)内具有直到(n+1)阶导 数,且 Rn(x0)=Rn(x0)=Rn(x0)=…=R0(x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x)”在以x及x为端点的区间 上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) Rn(x)-r(o n+1 x-x 0 Rn(51) (在x与x之间 (n+1)(51-x0) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 : 由假设,R ( x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导 数,且 两函数R ( x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的区间 上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n    + −  = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R  x0 = = R x = n n n n  n 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 两函数R(x)及(n+1)(x-x0)”在以x及51为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 Rn(1) Rn(51)-Rn(x0) (n+1)51-x0)”(n+1)(51-x0)”-0 Rn(22) (2在x0与5之 n(n+1)(22-x0) 如此下去,经过(n+1)次后,得 R,(x) Rnt(s (x-xoy+(a+1)(5在与5之间) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R ( x) n  及 n (n 1)(x x ) + − 0 在 以 x0及 1为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − −  −  = + −  n n n n n n x R R x n x R     ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n  ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2  在 与 之 间   x n n x R n n − + −  = 2004-4-10 ( 在x0与 n之间 )

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (n+1) (x)=0,∴R (n+1) (n+1) 则由上式得 R,(r= f() (x-x0)1(在x0与x之间) n (x)=∑ k k=0k! 0 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式 k) f∫(x)=∑ ∫( (x-xo)+rn(x) k=0 k! 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics  = = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式  = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n   + + − + = ( ) 0, ( 1) = + P x n  n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + +  = 2004-4-10 则由上式得

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics R(x)=15(x-xy(在x与x之间 n 拉格朗日形式的余项 注:1)在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可 写成 f(x)=f(x)+f∫(x)(x-x)+…+ x-x +o(x-x0) 2)当n=0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=f(x)+f'()(x-x)(x0与x之间) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 拉格朗日形式的余项 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n   + + − + = 注: 1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可 写成 n n x x n f x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) = 0 +  0 − 0 ++ − [( ) ] 0 n + o x − x (5) 2)当n = 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x = f x0 + f   x − x0 在x0与x之间 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3)取x=0, 在0与x之间,令=(0<<1) 则余项Rn(x)= f""( n+1 (n+1) 麦克劳林( Maclaurin)公式 f(x)=f(0)+fY0)x+2702 f"( x-+… 2! 2十 ft(a) (0<6<1) (n+1) ∫(x)=f(0)+f0xJ"(x2+…+f(0 2! +O(x") 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n O x x n f x f f x f f x + + +  = +  +  (0 1) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( 1) ( ) 2   + + + +  = +  + + +   n n n n x n f x x n f x f f x f f x  麦克劳林(Maclaurin)公式 3)取x0 = 0,  在0与x之间,令 = x (0    1) 则余项 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x  2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求∫(x)=e的阶麦克劳林公式 解∫(x)=∫"(x)=…=∫(x)=e, f(0)=f(0)=f"(0)=…=f"(0)=1 注意到∫(a)=e代入公式,得 e ex=1+x++…++ x"1(0<6<1) n十 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 求 x f ( x) = e 的n阶麦克劳林公式. 解 ( ) ( ) ( ) , (n) x  f  x = f  x == f x = e (0) (0) (0) (0) 1 ( )  =  =  = = = n f f f  f n x f x e   = + ( ) 注意到 ( 1) 代入公式,得 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2   + = + + + + + +   n n x x x n e n x x e x  2004-4-10