天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第七章 空间解析几何与向量代数（7.3）曲面及其方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第三节曲面及其方程 曲面方程的概念 、旋转曲面 柱面 四、二次曲面 返回 tianjin Polytechic lmiwendity Nww

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程F(x,y,孔)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而 曲面S就叫做方程的图形 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M0(x0,y0,x)、半径为R的 球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MMo=R (x-x0)2+(y-yn)2+(z-zn)2=R 所求方程为(x-x0)2+(y-yn)+(z-a)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为R的 球面方程. 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直 平分面的方程 解设M(x,y,)是所求平面上任一点, 根据题意有| MAMB|, (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =(x-2)2+(y+1)+(z-4), 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4)，求线段AB的垂直 平分面的方程. 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面? 解通过配方,原方程可以改写成 (x-1) +(y+2) +z2=5 原方程表示球心在点M0(1,-2,)、半径为R=√5 的球面 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 方程 2 4 0 2 2 2 x + y + z − x + y = 解 通过配方，原方程可以改写成 ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x − + y + + z = 原方程表示球心在点 (1, 2,0) M0 − 、半径为 R = 5 的球面. 表示怎样的曲面？

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面) 返回 tianjin Polytechic lmiwendity Nww

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 旋转曲面 定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 M1(0,y1,z1) M f(y,z)=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z  M d

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 旋转过程中的特征: 设M(x,y,z), (1)z (2)点M到z轴的距离 d=、x2+y V1 将z=1,y1=土√x2+y2代入 f(y1,z1)=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1 (1) z = z （2）点M 到 z轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 将 代入 2 2 1 1 z = z , y =  x + y ( , ) 0 f y1 z1 = 设 M(x, y,z)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 将z=z,y1=土x2+y2代入f(y1,1)=0 得方程 x2+y2,z)=0, y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕x轴旋 转一周的旋转曲面方程 同理:y0z坐标面上的已知曲线∫(y,x)=0绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 八(y,±√x2+x2)=0. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 将 代入 2 2 1 1 z = z , y =  x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f  x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕 z轴 旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理：yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y  x + z =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋 转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线 的夹角a0<α<叫圆锥面的半顶角.试建立顶点在 坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为C的圆锥面方程 解y0z面上直线方程为 z= cota M1(0,y1,z1) 圆锥面方程 =±x2+ y cot a M(x,y, 4) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋 转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线 的夹角            2 0 叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在 坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1  M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z =  x + y o x z y 