天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数与极限（1.7）无穷小的比较

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节无穷小的比较 例如,当x→0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 观im x2比3x要快得多 察各极 x→)03x sIn x 限Iim sinx与x大致相同 x→>0y 型)lim x2◇x= lim sin不存在.不可比 0x→0x 2 x→0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如, . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 观 察 各 极 限 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 （ 型） = 0 0 不存在.不可比. 第七节 无穷小的比较

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义:设a,是同一过程中的两个无小且≠0 (1)如果lim2=0,就说B是比α高阶的无穷小, 记作β=0(x) αβ (2)如果lm2=∞,就说B是比a低阶的无穷小 (3)如果imP=C≠0,就说β与a是同阶的无穷小; 特殊地,如果lm=1,则称β与α是等价的无穷小; c 记作a~B

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 ,  =  =     o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且  0. (3) 如果 lim =  0,就说  与  是同阶的无穷小;   C ~ ; lim 1, ;   =     记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说  是比  低阶的无穷小．   ( ) lim

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (4如果im=C≠0,k>0,就说B是的k阶的 无穷小 例如 0 x->03x 即x2=0(3x)(x→>0) 当x→>0时,x2是比3x高阶的无穷小; :li sinx x->0x 即sinx~x(x→>0) 当x→>0时,inx与x是等价无穷小 x23r-3 当x→>3时,x2-9与x-3是同阶无穷小

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C  k  就说  是  的 k 阶的    当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 1， sin lim 0 = → x x x  即sin x ~ x (x → 0). 0 3 ;  当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 0， 3 lim 2 0 = → x x x  (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 例如， 6, 3 9 lim 3 2 = − − → x x x  当x→3时,x2−9与x−3是同阶无穷小

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例15证明:当x→Q时,1+x-1~-x 证明:lim 1+x-1 =lim (巛1+x)”-1 x-01 么(+x)2+1+x)”2+…+11 (1+x)1+(1+x)"2+…+1 巛1+x-1~-x(x→>0 n

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例15 x n x x n 1 证明:当 → 0时, 1+ −1 ~ 证明 [ (1 ) (1 ) 1] 1 ( 1 ) 1 lim 1 1 1 lim 1 2 0 0 + + + + + + − = + − → → − −   n n n n n n x n x x x x n x x n x 1 (1 ) (1 ) 1 lim 0 1 2 = + + + + + = x→ n x n− n x n−  n ( 0) 1  1+ −1 ~ x x → n x n

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1B与a是等价无穷小的的充分必要条件 为B=a+0(a)称a是B的主要部分 证必要性设α~β, c lim lim-1=0, β-0=0(x),即β=a+o(a 充分性设β=a+o(0) & lim a+o(a) =lim(1+ 0(0 c c c

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件        ( ). 1 = + o 证 必要性 设  ~ ， lim lim − 1   =   −  = 0，   −  = o()，即 =  + o()． 充分性 设  =  + o()．   +  =   ( ) lim lim o （１＋ ）   = ( ) lim o = 1，   ~ ．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例16因为当x→>0时,inx~x,tanx~x 1-cos x Aresinx-x 所以当x→>0时,有sinx=x+0(x)tanx=x+o(x), arcsinx=x+o(x), 1-cos x +0(x 2 定理2(等价无穷小代换定理) 设a~a,B~B且im存在则imn2=lim B C 证 c c =lim. lim. lim c c lim

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例16 因为当 x →0 时, sin x ~ x, tan x ~ x, Arcsinx~x 2 1 cos ~ 2 x − x 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim .             =   设  且 存 在 则 证   lim lim( )         =         = lim lim lim lim .   = ( ) 2 1 cos 2 2 o x x − x = + 所以当 x →0 时,有sinx=x+o(x),tanx=x+o(x), arcsinx=x+o(x)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics tanx 例17求im x→>0sin5x 解当x→Q时,tn2x~2x,sin5x~5x, tan 2x 2x2 ∴lim lim x→0sin5xx-05x5 SInd 例18求lm x-→0x3+3x 解im sInd =lim lim -0x3+3xx)0x3+3xx-0x2+33

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例17 求 x x x sin5 tan lim →0 解 5 2 5 2 lim sin5 tan 2 lim 0 ,tan 2 ~ 2 ,sin5 ~ 5 , 0 0  = = → → → x x x x x x x x x x x 当 时 例18 求 x x x x 3 sin lim 3 →0 + 解 3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 3 0 3 0 = + = + = → + → x x → x x x x x x x x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例19求lm (1+x2)-1 >0 cOSx-1 解当x→Q时,(1+x2) x. cosx (1+x-2)3-1 2 lim =lim 3 +0 cOSx-1 x→0 2 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3 2 2 1 3 1 lim cos 1 (1 ) 1 lim 2 2 0 2 0 3 1 = − − = − + −  → → x x x x x x 返回 2 2 2 2 1 ,cos 1 ~ 3 1 0 ,(1 ) 1 ~ 3 1 解 当x → 时 + x − x x − x cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 例19 求