矩阵的初等变换与线性方程组——线性方程组有解的判定定理

线性方程组 形如 1x1+c12x2+…+a1n 2 +22 X十…十2X ann ●。·●●●●●●●●● ●●●●●●●···●● (3.1.1) aix, ta m22 +…+aLx.=b 称为n个未知数x,x2…x,的m个方程的线性方程组

       + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 形如 (3.1.1) 称为n个未知数x1 , x2 , xn 的m个方程的线性方程组 一 .线性方程组

设 2 In 2n X 6= m2 mn A称为方程组(31)系数矩阵, b1b2…bn称为方程组(31.1)的常数项 则上述方程组(3.11)可写成向量方程 Ax=b (3.12)

, a a a a a a a a a A m m mn n n               =        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 , 2 1               = n x x x x  设 称为方程组 的常数项 称为方程组 的系数矩阵 , , , (3.1.1) (3.1.1) , b1 b2 bm A  则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程 Ax = b.               = m b b b b  2 1 （3.1.2）

特别地当b=时 称方程组(1.3.1)为齐次线性方程组; 若至少有一个b≠0i=12…,m) 则称方程组(131)为非齐次线性方程组;

(1.3.1) ; 0( 1,2, , ), (1.3.1) ; , 0 0 0 , 则称方程组 为非齐次线性方程组 若至少有一个 称方程组 为齐次线性方程组 特别地 当 时 b i m b i    =               =

能使每个方程变为恒等式的n个数x1,x2,…xn称为 方程组的解. 至少有一个解的方程组称为相容的 如果方程组没有解就称这个方程组不相容 具有惟一解的方程组称为确定方程组 具有多于一个解的方程组称为不定方程组

能使每个方程变为恒等式的n个数 称为 方程组的解. n x , x , x 1 2 具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组. 至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容

解向量 若x=51x12=5212…xn=5n为(311解则 911 X 称为方程组(31.1)舶解向量,它也就是向量方程(312) 的解

解向量 . (3.1.1) , (3.1.2) , , , (3.1.1) , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 的解 称为方程组 的解向量 它也就是向量方程 若 为 的解 则               = = = = =        n n n x x x x  

齐次方程组 对齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵 A=(ax,a2,…,an)分块,则Ax=0变为 xC1+x2O2+…+xncn=0 显然齐次方程组总有解x1=x =0 所以齐次方程组总是相容的 1下面讨论齐次方程组在什么条件下存在非零解?

1.下面讨论齐次方程组在什么条件下存在非零解? x1 = x2 == xn = 0 所以齐次方程组总是相容的. 显然齐次方程组总有解 0 ( , , , ) , 0 0 1 1 2 2 1 2 + + + = = = = n n n x x x A Ax Ax         分块 则 变为 对齐次线性方程组 的系数矩阵 二.齐次方程组

Ax=oeX,a,+x,a,++x,an=o 则齐次方程组有非零解的充要条件是: ai, a 线性相关 即R(A)=romk(ax,2a2,…,an)<n 定理311设A是mXm矩阵,则齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是R(A)<n 推论3.1.2齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件 是R(A)=n=A的列数 特别地当A为方阵时,Ax=0只有零解(有非零解) A≠(Ap圆

 Ax = 0  x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 则齐次方程组有非零解的充要条件是: , , , . 1 2  n 线性相关 即R(A) = rank(1 ,2 ,  ,n )  n 定理3.1.1 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是R(A)<n. 推论3.1.2 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件 是R(A)=n=A的列数. 特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)

2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=5,x=2为Ax=0的解,则 51+22 也是Ax=0的解 证明:A51=0,A52=0 A(1+2)=A51+A2=0 故x=51+2也是4x=0的解

２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x =  1 ,x =  2 为 Ax = 0 的解，则 x =  1 +  2 也是 Ax = 0 的解. 证明  A( 1 +  2 ) = A 1 + A 2 = 0  A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. =  1 +  2 =

(2)若x=1为Ax=0的解,k为实数,则 =k51也是Ax=0的解 证明Ak51)=k4(1)=k0=0 证毕 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间S

（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x =  1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0.  1 =  1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间S． 证毕

因此若可求出S的一个基51252,…,, 则方程组AX=0的通解可以表示为 x=k1+k252+…+k 其中k,k2,…,k,为任意常数

因此,若可求出S的一个基 , , , , 1  2  t 则方程组AX=0的通解可以表示为 , 1 1 2 2 t t x = k  + k  ++ k  , , , . 其中k1 k2  kt 为任意常数