天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数与极限（1.9）连续函数的运算与初等函数的连续性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节连续函数的运算 与初等函数的连续性 连续函数的和、差、积、商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 二、 反函数与复合函数的连续性 三、 初等函数的连续性 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续 则f(x)±g(x),f(x),g(x), f(r) (g(x)≠0 在点x1处也连续 例如,sinx,cosx在(-,+)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x    定理1 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 返回 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、反函数与复合函数的连续性 定理4如果函数yJ(x)在区间上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数cg()也在对应的区间 l={yly=f(x),x∈}上单调增加(或单调减少)且连续 例1y=sinx在一石,山上单调增加且连续, 故y= arcsinx在-1,1上也是单调增加且连续 同理y= arccos在-1,1单调减少且连续 y= arctan,y= arccot在-0,+0上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、反函数与复合函数的连续性 定理4 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间 Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续   例1 y = x − 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3若limp(x)=a,函数f()在点连续, x→x0 则有im川(x)=f(a)= flim p(x) 证f(u)在点u=连续 VE>0,37>0,使当-a0,8>0,使当0<x-x<δ时, 恒有x)-a=-a<m成立

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x    → → → = = = 则 有 定理3 若 函 数 在 点 连 续 证 f(u)在点u=a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时     −      −  f u f a u a 0, 0, 0 , 对于   使当  x− x 0 时 x a x x = → lim ( ) 0 又  恒有(x)−a = u−a 成立

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 将上两步合起来: vE>0,38>0,使当0<x-xn<时, f(u)-f(a)=fl(x)1-f(a) ∴lim∫qp(x)=∫(a)=[img(x) x→x0 x→x0 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换(u=p(x)理论依据

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 将上两步合起来: , 0  0,  0, 使当0 x− x 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x  = →  [lim ( )]. 0 x x x  → = 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u=(x))的理论依据

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics X 例2求im x→3 39 x-3 x-31√6 解 imix 定理4设函数u=p(x)在点x=x连续,且 (x)=ln,而函数y=f(u)在点n=u连续, 则复合函数y=/p(x)在点x=x也连续

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 求 x 9 x 3 lim 2 x 3 − − → 解 6 6 6 1 x 9 x 3 lim x 9 x 3 lim 2 x 3 2 x 3 = = − − = − − → → [ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 则复合函数 在 点 也连续 而函数 在 点 连 续 设函数 在 点 连 续 且 y f x x x x u y f u u u u x x x = = = = = = =   定理4 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3讨论函数=sin的连续性 解=在(-0,0)∪(0,+∞)内连续 文y=sinu在(-a+内连续 y=sin-在(-∞,0)∪(0,+∞)内连续 x 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 又y = sinu在(− , + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1  = sin 在 −   +  内连续 x y 返回 ( , 0) (0, ) , 1  = 在 −   +  内连续 x 解 u 讨论函数 的连续性 x y 1 例3 = sin

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、初等函数的连续性 大三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 大指数函数y=a(a>0,a≠1) 在(-0,+∞)内单调且连续; ★对数函数 J=log。x(a>0,a≠ 1) 在(0,+0)内单调且连续;

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、初等函数的连续性 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ y = a (a  0, a  1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a  0, a  1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续;

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ★y=x=a→y=a",u= ulog x 在(0,+∞)内连续讨论μ不同值, (均在其定义域内连续) 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义 域内不一定连续; 2.初等函数求极限的方法代入法 imf(x)=f(x)(x∈定义区间) x→x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在(0, + )内连续,讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) ★  y = x x a a  log = , u y = a u log x. =  a 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义 域内不一定连续; 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = 定义区间 → f x f x x x x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4求m+x2-1 x→>0 解原式=lim (√1+x2-1)(1+x2+1) x-0 x(√1+x2+1) =0 x0√1+x2+1 例5求lm og,(1+x) x→>0 解原式= lim log,(+x) =log lim(1+x)=lne=1

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 . 1 1 lim 2 0 x x x + − → 求 解 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + − + + = → x x x x 原式 x 1 1 lim 2 0 + + = → x x x 2 0 = = 0. 例5 . x log (1 x) lim a x 0 + 求 → x 1 a x 0 = lim log (1+ x) 解 原式 → (1 x) ] = 1. log [lim x 1 x 0 = a + → = lne