天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.7）曲率

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节曲率 、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、曲率中心的计算公式渐屈线 与渐伸线(选讲) 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线(选讲） 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 弧微分 设函数(x)在区间a,b)y 内具有连续导数 基点:A(x0,y) TyR M(x,y)为任意一点, △v x+△rx 规定:(1)曲线的正向与增大的方向一致 (2)AM=s,当AM的方向与曲线正 致时,s取正号相反时,s取负号 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM 一、弧微分 2004-4-10 x y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 单调增函数s=s(x) 设N(x+△x,y+△y), MN<M<MT+MT当Ax→0)时, MN=√(△x3+(4y2=1+(4)2△→1+y2, MN=△S→d, MT=(x)2+(d)2=1+y4ax, NT=A-的→0,故=1+p2 s=s(x)为单调增函数,故d=√1+y2kx 「返回 2004-4-10 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), MN  MN  MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y    = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 2004-4-10 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 △ay 丛a △s △S, M3 △S, △S2/N △ 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N  弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 1 二、曲率及其计算公式 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设曲线C是光滑的, M是基点M=△s, M △ M→M切线转角为△a M S c+△o 定义 X 弧段MM的平均曲率为k=Aa △s △ 曲线C在点M处的曲率K=lim △s-→0△ da 在lm=存在的条件下,K △s→)0△sds ds 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics +   S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K    =  弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s   =  →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s   =    → . ds d K  = 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意:(1)直线的曲率处处为零 (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大 曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导,tana=y, 有 a= arctan da= 1+ d 1+y 2x.∴k 2 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d +    = . (1 ) 2 3 2 y y k +    = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设{1=(O 二阶可导, y=y(t), dy_y oo dy o'(ty"(t)-(ty'(t dx p (t) dx2 3 q"(t) ) .k-p(tv(t)-p(ty'( l(t)+y'(t) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , ( ), ( ), 设 二阶可导    = = y t x t   . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k        +    −    = , ( ) ( ) t t dx dy      = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   = 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, k 1+(2ax+b)2 显然,当x=_b 时,k最大 2a b b-4ac 又∵:( )为抛物线的顶点 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大 「返回 2004-4-10 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + +  = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b −  − − 抛物线在顶点处的曲率最大. 2004-4-10 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、曲率圆与曲率半径 定义设曲线y=f(x)在点 M(x,y)处的曲率为k(k≠ 在点M处的曲线的法线上 y=f(r) 在凹的一侧取一点D,使DM M .以D为圆心,p为半径 作圆(如图,称此圆为曲线在点M处的曲率圆 D---曲率中心P--曲率半径 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 D y = f (x) M k 1  = ( ), . . , 1 , , ( , ) ( 0). ( ) 作 圆 如 图 称此圆为曲线在点 处的曲率圆 以 为圆心 为半径 在凹的一侧取一点 使 在 点 处的曲线的法线上 处的曲率为 设曲线 在 点 M D k D D M M M x y k k y f x = =    = D − − −曲率中心,  − − −曲率半径. x y o 三、曲率圆与曲率半径 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数 即p=kp 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲) 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似) 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数. . 1 , 1   = k = k 即 注意: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 2004-4-10