天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第五章 定积分（5.4）反常积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节反常积分 无穷限的反常积分 二、无穷函数的反常积分 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无穷函数的反常积分 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 无穷限的反常积分 定义1设函数f(x)在区间,+0)上连续,取b>a, 如果极限limf(x)d存在,则称此极限为函数f(x) 在无穷区间+∞)上的反常积分,记作f(x)d r f(x)dx=lim /(r)dx 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称 反常积分发散

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 1 设函数 f (x)在区间[a,+)上连续，取b  a， 如果极限  →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+)上的反常积分，记作 + a f (x)dx.  + a f (x)dx  →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 一、无穷限的反常积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取a-0 b 在无穷区间(b上的反常积分,记作f(x)d ∫ b f(x)dx= lim f()a a→ 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称反 常积分发散

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地，设函数 f (x)在区间(−,b]上连续，取 a  b， 如果极限  →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b]上的反常积分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx  →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反 常积分发散

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数∫(x)在区间(-∞,+∞)上连续,如果反常积分 + f(x)和。∫(x)都收敛,则称上述两反常积分 之和为函数∫(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分,记 作」。f(x)t ∫ f(x)x=f(x)dx+n∫(x)h lim f(x)dx+ lim lf(x)dx a→-

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数 f (x) 在区间(−,+)上连续,如果反常积分 − 0 f (x)dx和 + 0 f (x)dx都收敛，则称上述两反常积分 之和为函数 f (x)在无穷区间(−,+)上的反常积分，记 作 + − f (x)dx.  + − f (x)dx − = 0 f (x)dx  + + 0 f (x)dx  →− = 0 lim ( ) a a f x dx  →+ + b b f x dx 0 lim ( )

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics P+oO d x 例1计算反常积分 1+x 解。 d x o dx d x 1+x 2 ∞1+x 2 2 01+x 0 b m d x + lim d x a1+x b→+∞001+x lim arctan+ lim arctan a→-00 b→+0 兀).兀 =-lim arctan lim arctan= -=优 a→-00 b→+0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 计算反常积分 . 1  2 + − + x dx 解  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →−  0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+  b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →−  =   b b arctan x 0 lim →+  + a a lim arctan →−  = − b b lim arctan →+  + . 2 2 =    +       = − −

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2证明反常积分[1当p>1时收敛, 当p≤1时发散 证(1)p=1, 「"vdc= +0 d x Inx p 7+oo P 因此当p>1时反常积分收敛,其值为1;当 P P≤1时反常积分发散

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 证明反常积分 + 1 1 dx x p 当 p  1时收敛， 当 p  1时发散. 证 (1) p = 1,  + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p  1时反常积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p  1时反常积分发散

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3证明反常积分epx,当p>0时收敛, 当p0时收敛,当p<0时发散 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 3 证明反常积分 + − a px e dx ，当 p  0时收敛， 当 p  0时发散. 证  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+  lim       = − − − →+  p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p  0时收敛，当p  0时发散. 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、无界函数的反常积分 定义2设函数f(x)在区间(a,b上连续,而在点的 右邻域内无界取6>0,如果极限mf(x)t存在, →+0a 则称此极限为函数f(x)在区间(a,b上的反常积分,记 作f(x)tx f()dx = lim f(x)dc +0a+E 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称 反常积分发散

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 2 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在点 a 的 右邻域内无界．取   0，如果极限 →+  + b a f x dx   lim ( ) 0 存在， 则称此极限为函数 f (x)在区间(a,b]上的反常积分，记 作 b a f (x)dx.  b a f (x)dx →+  + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散. 二、无界函数的反常积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地,设函数∫(x)在区间[a,b)在上连续,而点b的 左邻域内无界取E>0,如果极限lmf(x)d存 E→+0a 在,则称此极限为函数f(x)在区间a,b)上的反常积分, 记作f(x)t=limf(x) E→+0 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在时,称 反常积分发散

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地，设函数 f (x)在区间[a,b)在上连续，而点b的 左邻域内无界.取   0，如果极限  − →+   b a lim f (x)dx 0 存 在，则称此极限为函数 f (x)在区间[a,b)上的反常积分， 记作 b a f (x)dx  − →+ =   b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数f(x)在区间a,b上除点c(a<c<b)外连续,而 在点c的邻域内无界.如果两个反常积分(x)和 ∫(xt都收敛,则定义 (x=(x+/(x)d lim f(x)dx+ lim f∫(x)x E→+0 E2→+0Jc+E 否则,就称反常积分」”∫(x)x发散 定义中C为瑕点,以上积分称为瑕积分

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数 f (x)在区间[a,b]上除点 c (a  c  b)外连续，而 在点c的邻域内无界.如果两个反常积分 c a f (x)dx和  b c f (x)dx都收敛，则定义  b a f (x)dx  = c a f (x)dx  + b c f (x)dx  − →+ =   c a lim f (x)dx 0  +  →+ + b c f x dx   lim ( ) 0 否则，就称反常积分 b a f (x)dx发散. 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分