天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十一章 无穷级数（11.4）函数展开成幂级数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节函数展开成幂级数 、泰勒级数 函数展开成幂级数 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,称幂级数 x f(x)+f(x)(x-x0)+0(x-x0) f"(x) x-x)+ 2! n 为函数∫(x)的泰勒级数。 定理设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x)内具有各阶导 数,则在该邻域内f(x)能展开成泰勒级数的充分必要条件 是f(x)的泰勒公式中的余项R(x)满足imRn(x)=0(xEU(x) n→》0 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f ( x) 0 x − ++ − +  +  − + n n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 为函数 f ( x) 的泰勒级数。 一、泰勒级数 如果 在点 的某邻域内具有各阶导数，称幂级数 定理 设函数 在点 的某一邻域 内具有各阶导 数，则在该邻域内 能展开成泰勒级数的充分必要条件 是 的泰勒公式中的余项 满足 f ( x) 0 x lim ( ) 0 ( ( ) Rn x x U x0 n =  → ( ) U x0 f ( x) f ( x) R (x) n

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 麦克劳林级数在泰勒级数中取xn=0,得级数称此级 数为函数∫(x)的麦克劳林级数。 f"(0) f()+f(0)x+<cx2+…+m!x"+ 2! 函数展开成幂级数 例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数。 例2将函数f(x)=inx展开成x的幂级数。 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 麦克劳林级数 在泰勒级数中取 ，得级数称此级 数为函数 的麦克劳林级数。 x0 = 0 ++ +  +  + n n x n f x f f f x ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 f ( x) 二、函数展开成幂级数 x 例1 将函数 f (x) = e 展开成 x 的幂级数。 例2 将函数 f (x) = sin x 展开成 x 的幂级数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3将函数c0sx展开成x的幂级数 例4将函数 1+x2展开成X的幂级数 例5将函数∫(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数。 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2 1 1 + x f (x) = ln(1+ x) 例3 将函数 cos x 展开成 x 的幂级数. x 例4 将函数 展开成 x 的幂级数. 例5 将函数 展开成 的幂级数