天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十一章 无穷级数（11.3）幂级数

天津工葉大学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 Tianjin Polytechnic Hn

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、函数项级数的概念 幂级数概念形如a+a1x+a2x+…+anx+ 的级数叫幂级数,其中常数a0,a1,2,…,an 叫做幂级数的系数。 定理1(阿贝尔定理) 如果级数∑ax"当x=x0时收敛,则适合不等式xx的一切 使这幂级数发散。 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 幂级数概念 形如 的级数叫幂级数，其中常数 叫做幂级数的系数。 a0 + a1 x + a2 x 2 ++ an x n + a0 , a1 , a2 ,  , an ,  一、函数项级数的概念 定理1（阿贝尔定理） 如果级数 当 时收敛，则适合不等式 的一切 使这幂级数绝对收敛。反之，如果此级数当 时发散，则适合不等式 的一切 使这幂级数发散。   n=0 n an x ( 0) x = x0 x0  x = x0 x  x0 x  x0 x x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2(求幂级数的收敛半径) 如果lim n+1 P其中mn,4n+1是幂级数的相两项 的系数,则这幂级数的收敛半径 P≠0, R={+∞,p=0. 0,p=+ tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2（求幂级数的收敛半径） 如果 其中 是幂级数的相邻两项 的系数，则这幂级数的收敛半径 1 , an an+        = +  +  =  = 0 , . , 0 . , 0 , 1     R =  + → n n n a a 1 lim

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求幂级数 2 d c 十 2 的收敛半径与收敛区间 例2求幂级数 2 1+x+一+·++ 2! n! 的收敛区间。 例3求幂级数∑nx的收敛半径。 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics − + −+ − − + n x x x x n n 1 2 3 ( 1) 2 3 + + ++ + 2! ! 1 2 n x x x n   =0 ! n n n x 例1 求幂级数 的收敛半 径与收敛区间。 例2 求幂级数 的收敛区间。 例3 求幂级数 的收敛半径

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、幂级数及其收敛性 性质1幂级数∑anx的和(x)函数在其收敛域I上连续。 性质2幂级数∑anx和函数s(x)在其收敛域I上可积,并 有逐项积分公式 「x)=12axl=∑∫ax2ax=∑4ux1 逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics   n=0 n an x 性质2 幂级数 的和函数 s(x) 在其收敛域I 上可积，并 有逐项积分公式 1 0 0 0 0 0 0 1 ( ) [ ] +  =  =  =      + = = = n n n n x n n x n n n x x n a s x dx a x dx a x dx 二、幂级数及其收敛性 性质1 幂级数 的和 函数在其收敛域I 上连续。   n=0 n n a x s(x) 逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 性质3幂级数∑anx"的和函数s(x)在其收敛域区间(-R,R)内 可导,并有逐项积分公式 s(x)=∑anx=anx")=∑ nE 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 例4在区间(1,1内求幂级数∑的和函 n=0n2+1 数。 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics s(x)     = −  =  = =  =           = 1 1 0 0 ( ) ( ) n n n n n n n n s x an x a x na x 性质3 幂级数 的和函数 在其收敛域区间 内 可导，并有逐项积分公式   n=0 n an x (−R, R) 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 例4 在区间 内求幂级数 的和函 数。 (−1 , 1)   n=0 +1 n n x