天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十二章 微分方程（12.1）微分方程的基本概念

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十二章微分方程 第一节微分方程的基本概念 第二节可分离变量的微分方程 第三节齐次方程 第四节一阶线性微分方程 第五节全微分方程 第六节可降阶的高阶微分方程 第七节高阶线性微分方程 第八节常系数齐次线性微分方程 第九节常系数非齐次线性微分方程 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十二章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 第五节 全微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程 第七节 高阶线性微分方程 第八节 常系数齐次线性微分方程 第九节 常系数非齐次线性微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节微分方程的基本概念 、问题的提出 二、微分方程的定义 、主要问题—求方程的解 四、总结 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题——求方程的解 四、总结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切 线的斜率为2x,求这曲线的方程 解:设所求曲线为y=y(x) 小=2x其中x=时,y=2 卩=2x即y=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x, y)处的切 线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解： 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 其中 x = 1时, y = 2  y = 2xdx , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x +

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动 时列车获得加速度-04米/秒2,问开始制动后多少时间列 车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路程? 解:设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t) ds ds d2-0.4t=0时,s=0,v==20, ds -0.4t+C1S=-0.22+Ct+C tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动 时列车获得加速度 − 0.4米/秒 2 ,问开始制动后多少时间列 车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？ 解： 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 代入条件后知C1=20,C2=0 =-0.4t+20 dt 故s=-0.2t2+20t, 开始制动到列车完全停住共需t= 20 0,A=5秒) ) 列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500米) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 = = −0.4t + 20, dt ds v 故 0.2 20 , 2 s = − t + t 开始制动到列车完全停住共需 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = −  2 +  = 米

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、微分方程的定义 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 职,y"+2y-3y=e2, (t +x)dt +xdx=0, xt y, 说明:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分)之间的关系式 分类1:常微分方程,偏微分方程 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、微分方程的定义 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, 2 3 , x y + y − y = e ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = x y, x z = +   说明: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数称微分方程的阶 例d 2x, x'y+x y-4 xy=3x yl-4y+10y-12y+5=sin 2x 分类2: 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y′=f(x,y); 高阶(n)微分方程 F(x,y,y,,y")=0,y=f(x,y,y,…,y" tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数称微分方程的阶. 分类2： 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( )  = n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y 例 4 3 , 3 2 2 2x, x y  + x y  − xy = x dx dy = y 4y 10y 12y 5 sin2x (4) −  +  −  + =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、主要问题求方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方 程的解 设y=(x)在区间I上有n阶导数, F(x,o(x),(x)…,pn(x)=0. 2微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、主要问题-----求方程的解 1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方 程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x  x  x  x =  n 2.微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例y=y,通解y=Ce; y+y=0,通解y=Csix+C2c0sx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 阶 ∫(x,y) 过定点的积分曲线 XEx ∫”=f(x,y,y) 二阶 X=x x=r 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.    =  = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 过定点的积分曲线; 二阶:    =  =   =  = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线