天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 不定积分（4.1）不定积分的概念与性质

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 第二节换元积分法 第三节分部积分法 第四节有理函数的积分 第五节积分表的使用

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分 第五节 积分表的使用

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 、不定积分的性质 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 返回

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、原函数与不定积分的概念 原函数 如果在区间内,可导函数F(x)的导函数为f(x)即Wx∈I 都有F(x)=f(x)或dFx)x)dx那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)d在区间/内原函数 不定积分: 在区间Ⅰ内,函数f(x)的带有任意常数项的原函数 称为f(x)在区间内的不定积分,记为∫(x)dt

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间 内，可导函数 的导函数为 即 都有 原函数： 那么函数 就称为 F( x) f ( x) xI F'(x) = f (x) dF(x)=f(x)dx 或 在区间 内原函数. 不定积分： 在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数 称为 在区间 内的不定积分，记为 . I 或 F(x) f(x) f(x)dx I I f ( x) f ( x) I  f (x)dx

⑩天串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注 o(anx)=1(x>0) Inx是在区间(0,+)内的原函数 ②∫(x)dkF(x)+C 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 任意常数

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 注 解 ① ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. ②

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 原函数存在定理 如果函数∫(x)在区间内连续,那么在区间存在可导 函数F(x)使∨x∈Ⅰ,都有F'(x)=f(x) 注①连续函数一定有原函数 解 ②原函数不唯一 ③f(x)的全体原函数组成的集合{F(x)+C-<C<+ 或|f(x)x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 原函数存在定理 如果函数 在区间 内连续，那么在区间I内存在可导 函数 f ( x) 使 xI ，都有 F'(x) = f (x) 注 解 ① 连续函数一定有原函数. ② 原函数不唯一 ③ f ( x) 的全体原函数组成的集合 {F(x) + C −   C  + } 或  f (x)dx F(x) I

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求「 解:当x>0时,·(nx)=-, Inx是—在(0,+0)内的一个原函数 即在(0,+0)内 ∫ dx=lnx+c 当x<0时,[n(-x)=—(-1 In(-x)是—在-00的一个原函数 即在(-∞a=ln(-x)+C dx=Inlxldx+C

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求 dx x  1 当 x  0 时， x x 1 (ln )'= ， ln x 是 在 内的一个原函数 x 1 即在 (0,+) (0,+) 内 dx x C x = +  ln 1 x  0 ， ln(−x) 是 在 内的一个原函数 x 1 即在 (−,0) 内 dx x C x = − +  ln( ) 1 当 时， x x x 1 ( 1) 1 [ln( )]' − = −  − = (−,0) dx x dx C x = +  ln 1  解：

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解没设曲线方程为y=f(x2根据题意知=2x, 即(x)是2x的一个原函数 「2xdx=x2+C,∴f(x)=x2+C, 曲线通过点(1,2)→C=1,所求曲线方程为y=x2+1 注①函数f(x)的原函数的图形称为f(x积分曲线 解②微分运算与求不定积分的运算是互逆的 [(x)-1(x,(x=/ ∫F(k=F(x+C,jF(x)=F(x)+C.[返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解：设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f ( x) 是 2x 的一个原函数 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x + 注 解 ① 函数 f ( x) 的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线。 ② 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. ③  f (x)dx f (x), dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x + C ( ) ( ) .  dF x = F x + C 返回

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得 出积分公式 (1)「kdx=kx+C(k是常数); 2)x"=,;+C(≠-1); μ+1 3) dx Inx+C; *vdx= arctan+C (5)∫ dx =arcsin x +c, 1-x2 (6)∫ cos xdx=sinx+C; (7)sin xd=-cos x +C; tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、 基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得 出积分公式. (1)  kdx = kx + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 +   −  + = +   C x x dx (3) ln ;  = x + C x dx = +  dx x 2 1 1 (4) arctan x + C; = −  dx x 2 1 1 (5) arcsin x + C; (6)  cos xdx =sin x + C; (7)  sin xdx =− cos x + C;

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics dx (8) sec xdx= tanx tc cos (9) =lcscxdx=-cot x+C; (10)secx tan xdx= secx +C (11) cot xdx=-cscx+C (12)e=e+C; (13)」azh +c? In a (14)Shxdx=chx+C 5)∫ehd=sx+G;

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics  = x dx 2 cos (8)  xdx = 2 sec tan x + C;  = x dx 2 sin (9)  xdx = 2 csc − cot x + C; (10) sec xtan xdx = sec x + C; (11)  csc xcot xdx = − csc x + C;  e dx = x (12) e C; x +  a dx = x (13) ; ln C a a x +  (14) shxdx = chx + C;  (15) chxdx = shx + C;

⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求积分x2xk 解 2 xdx 根据积分公式(2)xx A+ tC 2 +C==x2+C 5 +1 2 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 求积分 . 2  x xdx 解： x xdx  2 x dx  = 2 5 C x + + = + 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 = x + C 根据积分公式（2） C x x dx + + = +  1 1    返回