天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.5）对坐标的曲面积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算方法 、两类曲面积分之间的关系 四、总结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算方法 三、两类曲面积分之间的关系 四、总结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、对坐标的曲面积分的概念与性质 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 典型单侧曲面:莫比乌斯带 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面△S,△S在xoy面上的投影(△S)x为 (△a)x当c0sy>0时 (△S) (△a)当cosy<0时 0 当cosy=0时 其中(△a)表示投影区域的面积 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块. 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 曲面 S 上的投影(S) xy为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1) 流量 ①= Av cos Av.n=v A tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o (2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(,v, z)=P(x,y, z)i+o(x, y, zj+R(x, y, z)k 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y, 2),2(x,,), R(x,v, z) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向∑指定侧的流 体的质量Φ tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 1.分割把曲面∑分成t小块As(△s同时也代表 第i小块曲面的面积), 在△s,上任取一点 (5;,m,5;), z△S.n (51,7,s;) 则该点流速为v 法向量为n y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y z o  • Si ( , , ) i i i    i v  ni  把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , )  i i  i , 1. 分割 则该点流速为 . i v  法向量为 . ni 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o =v(5,71,5;) =P(5,7,5)+Q(5,m,5)+R(5,m,5)k, 该点处曲面∑的单位法向量 ni:=cos a i cos B, j+cos y, k, 通过亼s流向指定侧的流量的近似值为 v2·n2△S;(i=1,2,…,m) 2求和通过Σ流向指定侧的流量@≈∑nAS tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j ik     cos cos  cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2IP(5i, m, 5i)cos a;+o(5;, m;,5;)cos p; +R(5,1,5)c0sAS ∑[P(5,n,7)△S)2+Q(5,m,5)△S) +R(5,m;,5)△S)x 3.取极限λ→>0取极限得到流量Φ的精确值. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q +  =  + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1             i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 +  =   +  =          3.取极限  → 0 取极限得到流量的精确值