天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.4）对面积的曲面积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第四节对面积的曲面积分 、概念的引入 二、对面积曲面积分的概念与性质 对面积曲面积分的计算法 四、总结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 对面积的曲面积分 一、概念的引入 二、对面积曲面积分的概念与性质 三、对面积曲面积分的计算法 四、总结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 概念的引入 实例若曲面Σ是光滑的,它的面密度为连续函数 p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上连续移 A000 动时,切平面也连续转动 200 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、概念的引入 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 (x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上连续移 动时,切平面也连续转动

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、对面积的曲面积分的概念与性质 1.定义设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,z) 上有界,把分成n小块△S;(S;同时也表示 第小块曲面的面积),设点(,7,分为△Sz上 任意取定的点作乘积f(5,m5)△S 并作和∑f(5,m,分)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、对面积的曲面积分的概念与性质 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , )  i i  i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f    Si , 并作和 =  n i i i i f 1 ( , , ) Si, 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 记为 ∫(x,y,z)dS 即f(x,y,z)ds=im∑f(5,n,)△S 元→0 其中f(x,y,z州叫被积函数,Σ叫积分曲面 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面∑1及∑2,则 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即   f (x, y,z)dS i i i n i =  f i S = → lim ( , , ) 1 0     记为   f (x, y,z)dS.   f (x, y,z)dS =     + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、对面积的曲面积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 若曲面∑:z=x(x,y) 则 ∫(x,y,z)dS fIx,y,z(x, y)/1+zx+z7dxdy tianjin polytechnic la

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、对面积的曲面积分的计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy  x y +  +  =   f (x, y,z)dS 1. 若曲面  : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.若曲面Σ:y=y(x,z) 则∫∫(x,y,x)S= ∑ fIx, y(x, 2), z1 1+yx+y2 dxdz 3.若曲面∑:x=x(y,z) 则∫∫f(x,y,x)ds= ∑ ∫021+x2+x2oh tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz  x z +  +   =  则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz  y z +  +   =  f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 2 . 若曲面  : y = y ( x , z )

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1计算曲面积分』,其中∑是球面x2+y2+z2=a2 被平面z=h(0<h<a)截出的顶部。 解∑的方程为 ∑在xOy面上的投影区域Dn为圆形闭区域 x,y)|x2+y2≤a2-B2又 x -y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 计算曲面积分 解 ,   z dS 其中  是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平面 z = h (0  h  a) 截出的顶部。  的方程为 2 2 2 z = a − x − y  在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为圆形闭区域 ( , )| , 2 2 2 2 x y x + y  a − h 又 2 2 2 2 2 1 a x y a z z x y − − + + =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 根据公式有 ds add D x -y 利用极坐标,得 ls r apdp 2丌 a de d-p a-p =2gan h tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 根据公式有   − − =  Dx y a x y adxdy z dS 2 2 2 利用极坐标，得     −  − = − = 2 2 0 2 2 2 0 2 2 a h D a d a d a a d d z dS x y          h a = 2a ln

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2计算(x2+y2+z2)s,其电为内接于球面 ∑ x2+y2+x2=a的八面体|x|+|y|+|z=a表面 解被积函数f(x,y,z)=x2+y2+z2, 关于坐标面、原点均对称, 积分曲配也具有对称性, 故原积分∫=8∫, (其中Σ1表示第一卦限部分曲面) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 计算 (x y z )dS 2 2 2   + +  , 其中 为内接于球面 2 2 2 2 x + y + z = a 的八面体| x | + | y | + | z |= a表面. 例2 被积函数 f (x, y,z) = 2 2 2 解 x + y + z , 关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面 也具有对称性 , 故原积分    = 1 8 , (其中1表示第一卦限部分曲面)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o Σ1:x+y+z=a,即乙=a-x-y dS=1+x2+z,y=3 乐(x2+y2+2s=8(x2+y2+2 =8x2+y2+(a-x-y)33d =2、3m4 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1：x + y + z = a, 即z = a − x − y dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + = 3dxdy (x y z )dS 2 2 2  + +    = + + 1 8 ( ) 2 2 2 x y z dS x y a x y dxdy Dxy  = 8 [ + + ( − − ) ] 3 2 2 2 2 3 . 4 = a