天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十一章 无穷级数（11.6）函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节函数项级数的一致收敛性及 致收敛级数的基本性质 问题的提出 二、函数项级数的一致收敛性 三、一致收敛级数的基本性质 四、小结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 函数项级数的一致收敛性及一 致收敛级数的基本性质 一、问题的提出 二、函数项级数的一致收敛性 三、一致收敛级数的基本性质 四、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢?对于幂函数是这样的,那么对 于一般的函数项级数是否如此? tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 问题:

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1考察函数项级数 x+(x2-x)+(x-x)+…+(x"-x")+… 和函数的连续性 解因为该级数每一项都在[01是连续的, 且s(x)=x",得和函数 0,0≤x<1, s(x)=lims,(x) 和函数(x)在x=1处间断 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 ( ) , n 且 s n x = x 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，    =   = = → 1, 1. 0, 0 1, ( ) lim ( ) x x s x s x n n 和函数s(x)在 x = 1处间断. 例1 考察函数项级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 和函数的连续性．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 结论函数项级数的每一项在{a,b上连续,并且 级数在[a,b上收敛,其和函数不一定在[a,b上 收敛.同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分 问题对什么级数,能从每一项的连续性得出和 函数的连续性,从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢? tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b]上 收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑u1(x)如果对于任意 给定的正数,都存在着一个只依赖于的自然 数N,使得当n>N时,对区间Ⅰ上的一切x, 都有不等式 r, (x)=s(x)-S,(x)<e 成立,则成函数项级数∑un(x)在区间/上一致 H=1 收敛于和(x),也称函数序列s(x)在区间I上一 致收敛于(x) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数   =1 ( ) n u n x ．如果对于任意 给定的正数  ，都存在着一个只依赖于  的自然 数 N ，使得当 n  N时，对区间 I上的一切 x， 都有不等式 r (x) = s(x) − s (x)   n n 成立，则成函数项级数  =1 ( ) n u n x 在区间 I上一致 收敛于和 s(x)，也称函数序列 s (x) n 在区间 I 上一 致收敛于 s(x)． 定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 几何解释: 只要n充分大(m>N),在区间I上所有曲 线y=Sn(x)将位于曲线 y=(x)+E与y=s(x)-E之间 y=s(x)+8 =s(x) y=s(r-E tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 只要 n充分大 (n  N),在区间 I 上所有曲 线 y s (x) = n 将位于曲线 y = s(x) +  与 y = s(x) −  之间. x y o I y = s(x) −  y = s(x) +  y = s(x) y s (x)  = n  几何解释:

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2研究级数 x+1(x+2x+1 x+n x+n-1 在区间[0,+∞)上的一致收敛性 解 S(x)= x+n s(x)=lims, (x)=lim 0(0≤x<+) n1→0 n=oox+n 余项的绝对值 s(x)-Sn(x)=s(0≤x<+∞) x+nn tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 研究级数   +      + − + +  + +      + − + + + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x n x n 在区间[ 0,+ )上的一致收敛性. 例2 解 , 1 ( ) x n s n x +  = 0 (0 ) 1 ( ) lim ( ) lim =   + + = = → → x x n s x s x n n n 余项的绝对值 (0 ) 1 1 ( ) ( )    + + = − = x x n n r n s x s n x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 对于任给E>0,取自然数N≥ 则当n>N时,对于区间0,+0上的一切x, 有r(x)<8, 根据定义 所给级数在区间[0,+o上一致收敛于(x)≡0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 对于任给  0，取自然数  1 N  ， 则当n  N 时，对于区间[0,+]上的一切 x， 有 rn (x)  ， 根据定义， 所给级数在区间[0,+]上一致收敛于s( x)  0

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3研究例1中的级数 x+(x2-x)+(x-x2)+…+(x"-x")+… 在区间(0,1内的一致收敛性 解该级数在区间01)内处处收敛于和(x)≡0,但 并不一致收敛 对于任意一个自然数n,取x=,于是 2 2 但s(x)=0,从而r(x,)=(x,)-s,(x,) 2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 研究例1中的级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和 s(x)  0，但 并不一致收敛． 对于任意一个自然数 n , 取 n n x 2 1 = ，于是 , 2 1 ( ) = = n n x n x n s ( ) = 0, x n 但 s . 2 1 从而 r n (x n ) = s(x n ) − s n (x n ) =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 只要取EG, 因此级数在(0,1)内不一致连续 说明:虽然函数序列s(x)=x"在(0,1)内处处收敛于 s(x)≡0,但s(x)在(0,1)内各点处收敛于零的“快慢” 程度是不一致的 从下图可以看出: tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 只要取 2 1   ，不论 n多么大，在(0,1)总存在点 n x ， ( )   , n x n 使得 r 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 n s n (x) = x 在( 0, 1 )内处处 s(x)  0, s (x) n 在( 0, 1 )内各点处收 收敛于 程度是不一致的． 敛于零的“快慢