天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.7）方向导数与梯度

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第七节方向导数与梯度 方向导数 、梯度 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) y 内有定义,自点P引射线l 设x轴正向到射线L的转角 为卯,并设P(x+△x,y+△y) q△x X 为l上的另一点且P'∈U(p).0 (如图) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 讨论函数 z = f (x, y) 在一点P沿某一方向的变化率问题． 一、方向导数的定义 o y x  l • P x y • P • （如图） 内有定义，自点 引射线 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U (P ) z f x y ( , ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l    +  +  为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o PP=p=(△x)2+(4y)2, 且Δ=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) △ 考虑 当P′沿着L趋于P时, lnf(x+△x,y+△y)-f(x,y)是否存在? tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics | PP |=  ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时，   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ ,  z 考虑

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定义函数的增量f(x+△x,y+4y)-f(x,y)与PP 两点间的距离P=(△x)2+(△y)2之比值,当 P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在,则 称这极限为函数在点P沿方向方向导数 记为 =lim f∫(x+Ax,y+Δ)-f(x,y) OLp→>0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向 1{1,0}y轴正向e2={0,1}的方向导数分别为 ∫x,J;沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是 ∫x,-J tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( , ) ( , ) lim  0  f x x y y f x y l f +  +  − =   → 记为 称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数． 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在，则 两点间的距离 之比值，当 定义 函数的增量 与 P l P x y f x x y y f x y PP  =  +  +  +  −  2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , )  依定义，函数f (x, y) 在点P 沿着x 轴正向 {1,0} 1 e = r y轴正向 {0,1} 2 e = r 的方向导数分别为 x y f , f ；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定理如果函数z=∫(x,y)在点P(x,y)是可微分的, 那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在,且有 af af cos p+ SIn 其中为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 f(r+Ax, y+ Ay)-f(x,y)=Ax+4y+o(p) ax ay 两边同除以尸,得到 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y  +    +   +  +  − = 两边同除以  , 得到 定理 如果函数 z = f ( x, y)在点 P ( x , y )是可微分的， 那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有 cos  sin  y f x f l f   +   =   ， 其中  为 x 轴到方向L的转角．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o ∫(x+△x,y+△y)-f(x,y)_o△x,Of4y,o(p) ax p ay p 故有方向导数 of= lim f(x+Ax, y+Ay)-f(x,y) Olp→0 af cos o +sin p. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics cos sin      ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f +     +     = +  +  − 故有方向导数   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f   +   = =   l f

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求函数乙=xC2在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向T即为PQ={1,1}, 故x轴到方向l的转角甲= az y az x(1,0 = exe 1,0) (1,0) 所求方向导数 T c0s()+2sin(-) 2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 1; (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2, (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z ) 4 ) 2sin( 4 cos(  + −  = −   l z . 2 2 = − 例1 求函数 y z = xe 2 在点 P (1,0 )处沿从点P (1,0 ) 到点 Q ( 2,− 1)的方向的方向导数. 这里方向 l r即为PQ = {1,−1}, 故 x 轴到方向 l r 的转角 4   = − . 所求方向导数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求函数f(x,y)=xy+yz+在点(1,1,2) 沿方向的方向导数其中的方向角分别为 600,450,600 解与同方向的单位向量 e=(cos600,c0s450,c0s600) 由方向导数的计算公式知 al 3·+3·+2·=(5+32) (1,1,2) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (5 3 2) 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) = • + • + • = +   l f 由方向导数的计算公式知 例2 求函数 f ( x, y) = xy + yz + zx 在点（ 1,1 , 2 ） 沿方向 l r 的方向导数.其中的方向角分别为 0 0 0 60 ,45 ,60 解 与 l 同方向的单位向量 = (cos 60 , cos 45 , cos 60 ) 0 0 0 l e

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u=∫(x,y,z),它在空间一点 P(x,y,z)沿着方向L的方向导数,可定义为 o=limf(x+△x,y+△y,z+△z)-f(x,y,z) (其中P=(△x)2+(4y)2+(Az)2) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , ( , , ) ( , , ) lim  0  f x x y y z z f x y z l f +  +  +  − =   → 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数，可定义为 （ 其中 2 2 2  = (  x ) + (  y ) + (  z ) ）

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 设方向L的方向角为a,B,y △x=pC0sa,4=pc0s月,△z=pc0sy, 同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在,且有 c0sa+cos月+c0sy al ax tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics cos cos  cos . z f y f x f l f   +   +   =   设方向 L 的方向角为, , x =  cos, y =  cos  , z =  cos , 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意 方向 L 的方向导数都存在，且有