天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第九章 重积分（9.3）三重积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节三重积分 、三重积分的概念 、三重积分的计算 、小结 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 三重积分的定义 设∫(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界 函数,将闭区域任意分成n个小闭区域△v1 △v2,…,△vn,其中Av表示第个小闭区域,也表 示它的体积,在每个A上任取一点(,m,5)作 乘积f(21,1,5;)Av,(i=1,2,…,n),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为 ∫(x,y,z)dh tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 f (x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域任意分成n个小闭区域 1 v ， 2 v , , n v ，其中 i v 表示第i个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , )  i i  i 作 乘积 i i i i f ( , , )v ，(i = 1,2,  ,n)，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y,z)在闭区域上的三重积分，记为   f (x, y,z)dv, 一、三重积分的定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 即』f(x,y)dh=imn∑/(5,mn,5)△ 其中叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面 的平面来划分9,则△v=Ax4y△xn 三重积记为 f(x,y,z)d=lim∑f(5,m,51)△v →>0 Q i=1 其中d叫做直角坐标系中的体积元素 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即   f (x, y,z)dv i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dv 叫做体积元素. 的平面来划分 , 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 . i j k l 则v = x y z 三重积记为   f (x, y,z)dxdydz i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、三重积分的计算 1直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域Ω在xOy z=Z2(, y) 面上的投影为闭区域D, S: z=Z(x, y) S2:z=2(x,y 1x,y) 过点(x,y)∈D作直线, D 从石1穿入,从z2穿出 =y2(x) y=y,( tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 x y z o  D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域  在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 先将x,y看作定值,将∫(x,y,z)只看作z的 函数,则 F(x,y)=f(x, y, z )da gI(x,y 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 2(x,y) F(x, y)do ∫g ∫(x,y,x) dz do D:y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,得 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的  = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1    = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x  y  y2 x a  x  b 得

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ∫(x,y,xz)d Q b (x,y) ∫(x,y,z)dz y1(x)ˇJz1(x,y) 注意这是平行于z轴且穿过闭区域g内部的 直线与闭区域g的边界曲面S相交不多 于两点情形 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics =   f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1    b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z  

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1化三重积分Ⅰ=f(x,y,z)tdy为三次积分 其中积分区域为由曲面z=x2+2y及 z=2-x所围成的闭区域 2 解由 Z=x2+2 Z=2-x2 得交线投影区域 x2+y2≤1, tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 由    = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y , 1, 2 2 x + y  例1 化三重积分   I = f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分 其中积分区域 为由曲面 及 2 2 z = x + 2 y 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 得交线投影区域

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 1≤x<1 故Ω x≤ys 2 x2+2y z≤2-x =,.小2(x,, tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 故 ：      +   − − −   − −   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 −  2  − + − − −  = x x y x x I dx dy f x y z dz

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2将」+r(x,y,x)按y,z,x 0 0 0 的次序积分 0.8 0.6 0.4 0.20.40.60.8 0≤≤ 2 0≤y≤1 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y z D1：        0 1 0 2 y z x D1 例2 将    + 1 0 1 0 0 2 2 ( , , ) x y dx dy f x y z dz 按 y , z , x 的次序积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.5 +1 D2 33 x≤z ≤y≤1 原式=hdtn/(x,y,+ n'dxr-at dzl-wxf(x,],z)dy tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics    − 1 + 1 0 1 2 2 2 ( , , ) z x x x dx dz f x y z dy. D2：    −     + 1 1 2 2 2 z x y x z x D2 =    + 1 0 1 0 0 ( , , ) 2 dx dz f x y z dy x 原式