天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第九章 重积分（9.2）二重积分的计算法

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 四、小结 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 四、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 利用直角坐标计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,q(x)sy≤q2(x) X一型] y=p2(x) y=p2(r) D D y=p,(x y=g,(x) 其中函数1(x)、q2(x)在区间[{a,b上连续 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、利用直角坐标计算二重积分 如果积分区域为： a  x  b, ( ) ( ). 1 x  y   2 x ［X－型］ ( ) 2 y =  x a b D ( ) 1 y =  x D a b ( ) y = 2 x ( ) y = 1 x 其中函数 1 (x) 、  2 (x) 在区间 [a,b] 上连续

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics Tf(x,py)do的值等于以D为底,以曲面z= f(x,y)为曲顶柱体的体积 z=f(x,y) 应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 方法 A(x0) 2(x) y=(1(x) 得J∫(xyo=Jgm,/(x,y tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D =    a 0 x b z y x 应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 方法 ( ) y = 2 x z = f (x, y) ( ) A x0 ( ) 1 y =  x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1    = D b a x x f x y d dx f x y dy   得 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果积分区域为:c≤y≤d,q1(y)≤x≤q2(y) LY一型] q1(p) x=1(y) D x=p2(y) D Q2(y) ∫∫(x,y)do=∫" q2(y) ∫(x,y)dbx q1(y) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果积分区域为： c  y  d, ( ) ( ). 1 2  y  x   y ［Y－型］ ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D c d c d ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1    = D d c y y f x y d dy f x y dx   

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 十 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 . 1 2 3     = + + D D D D D3 D1 D2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1改变积分4。f(x,y)y的次序 解积分区域如图 y=1-x 0120,40.60.81 原式=。fx,y tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 积分区域如图 y = 1− x 例1 改变积分   − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 原式   − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , )

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2改变积分 2x-x 0 f(x,)+2∫(x,y)的次序 解积分区域如图 2 1.5 √2x 原式=5m:f(x,y) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 积分区域如图 y = 2 − x 2 y = 2x − x 原式   − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 例2 改变积分     − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3计算x其中D是由直线y=1,x=2及y=x 所围成的闭区域。 解法一积分区域是X一型的 ∫=J订yk=x,片d lv=ll =∫ )d=- 解法二积分区域是Y一型的 ∫=订∫xydh=y 2 2y-2 )y= l=1 8 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 计算 其中 是由直线 解法一 积分区域是X－型的 解法二 积分区域是Y－型的 8 1 ] 1 8 4 ) [ 2 2 ] 2 [ ] [ 2 1 4 2 2 1 3 1 2 1 2 2 1 1 = − = − = = =       x x dx x x dx y xyd xydy dx x x x D （   D xyd D y = 1 ， x = 2 及 y = x 所围成的闭区域。 8 1 ] 1 8 ) [ 2 2 ] 2 [ ] [ 2 1 4 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 = − = − = = =       y dy y y y dy x xyd xydx dy y y y D （  y = x D 1 x 2 x y = 1 o y x = y x = 2 D 1 2 y x yo

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4计算∫y1+x2-yl”其中D是由直线=x,x=-1 及y=1所围成的闭区域。 解D既是X型的, ∫j1+x2-pydo=∫,y+x2-py的 =-20×2-1lk 2 D是Y一型的 ∫x2-ydo=-∫,∫,1+x-y2d (计算比较麻烦) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 计算 其中 是由直线 所围成的闭区域。 解 既是X型的，  + − D y x y d 2 2 1 D y = x x = −1 y = 1     = − − = + − = + − − 1 0 3 1 1 1 2 2 2 2 2 1 ( 1) 3 2 1 [ 1 ] x dx y x y d y x y dy dx D x   − − + − = + − 1 1 1 2 2 2 2 1 [ 1 ] y D y x y d y x y dx dy ， ， 及 D 是Y－型的 （计算比较麻烦） y x o x y = x −1 1 y 1 y −1 o x −1 y = x D

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5计算∫xa,其中D是抛物线y2=x及直线 D y=x-2所围成的区域。 解:D为y型 D x=y+2 +2 xydo xyxl小 (-11) 5 yr dy=5 2 8 D为X一型 O xydo=xydo+xydo (-1,1) =d体+订2yd(计算比较麻烦) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5 计算 其中 是抛物线 及直线 所围成的区域。 8 5 ] 5 2 [ [ ] 2 2 1 2 2 1 2 2 2 = = = + − − +     y dy x xyd xydx dy y y y y D         − − = + = + 4 1 2 1 0 [ ] [ ] 1 2 x x x x D D D xydy dx xydy dx xyd xyd xyd y = x 2 y = x − 2  D xyd ， D D 解： 为Y－型 为X－型 （计算比较麻烦） y2 yo −1 (−1,1) 2 x = y (4,2) D x = y + 2 x yo (−1,1) 2 x = y (4,2) x = y + 2 D x x 4 y = − x y = x x 1 D D