天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.6）多元函数微分学的几何应用

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 空间曲线的切线与法平面 P(t) 设空间曲线的方程{y=v()( =O(t) (1)式中的三个函数均可导 设M(x0,y,z0,对应于t 0 M(x0+△x,y+△y,zo+△z) M 对应于t=t0+△t O X tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( )      = = = z t y t x t    o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M • • M ; ( , , ), 0 0 0 0 设 M x y z 对应于 t = t . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = + D  + D + D + D 对应于

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 割线MM的方程为 M x-x0y-y0-3 △ △ O X 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以△t, x-0_y-y0_3 △v △ △t △t tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 z z z y y y x x x D − = D − = D − 0 0 0 Dt Dt Dt 上式分母同除以 Dt, o z y x M • 割线 MM 的方程为 • M  , 0 0 0 z z z y y y x x x D − = D − = D −

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 当M→M,即Δt→0时, 曲线在M处的切线方程 r-5o y=yo o(to) y(to) a(to 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T={0(4),yr(tn,o(4) 法平面:过M点且与切线垂直的平面 (t(x-x0)+y(t0)(y-y)+o(t0)(z-z0)=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 )  法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0 当 → ,即 D → 0时 ,  M M t

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求曲线x=t,y=t2,z=t3,在点(1,1)处的 切线与法平面方程。 解因为x=1,y=2t,乙=3t2,而点(,,1)对应的 参数t=1,所以T=(1,2,3) 于是,→切线方程为 3 法平面方程为 x+2y+3x=6 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics  例1 求曲线 , , , 2 3 x = t y = t z = t 在点(1,1,1) 处的 切线与法平面方程。 解 因为 = 1, = 2 , = 3 , 2 x y t z t t t t 而点 (1,1,1)对应的 参数 t = 1 ,所以 T = (1 ,2 ,3 ) 于是， 切线方程为 , 3 1 2 1 1 1 − = − = x − y z 法平面方程为 x + 2 y + 3 z = 6

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 特殊地: 1空间曲线方程为 ∫y=(x) z=y(x 在M( 05y050 )处 切线方程为 x-0y-J02-3 o(xo)y(xo) 法平面方程为 (x-x)+(x0)(y-yn)+v(x0)(z-zn)=0. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.空间曲线方程为 , ( ) ( )    = = z x y x   , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 x z z x x x y y   − =  − = − ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 +  x0 y − y0 + x0 z − z0 = 法平面方程为 特殊地： 切线方程为 ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2空间曲线方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 x-x y=ye Z-Z 切线方程为 GG GG G. G Jy 0 x(0 J 法平面方程为 x x-xo)+ Z-Z G.G (y-y)+ G. G ylo 0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0    = = G x y z F x y z 切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 0. ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 = − + − + z − z G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程 解1直接利用公式; 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得 dy dz dy z-r y+Z de y x-y dx d x tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics      + = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y  , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − = 例2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0 在点 (1,− 2 , 1)处的切线及法平面方程. 解1 直接利用公式; 解2 将所给方程的两边对x求导并移项，得

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o dz 0 1,-2,1) d 由此得切向量T={1,0,-1}, 所求切线方程为 x-1y+2z-1 法平面方程为(x-1)+0.(y+2)-(z-1)=0, →x-z=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics T = {1, 0,−1},  所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0,  x − z = 0 0, (1, 2, 1) = dx − dy  1, (1, 2, 1) = − dx − dz 由此得切向量

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o A n=F(xo,yo, 0),F,(xo y0,40),F(o,yo,0) 则成⊥T,由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线, 它们在M的切线都与同一向量n垂直,故曲面上 通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上, 这个平面称为曲面在点M的切平面 切平面方程为 r(050940 )x-x0)+F(x0,y0,0)(y-y0) +F2(x0,y0,z0)(z-z0)=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z  令 则 n T,   ⊥ 切平面方程为 ( , , )( ) 0 ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − + − F x y z z z F x y z x x F x y z y y z x y 由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线， M 的切线都与同一向量n  垂直，故曲面上 通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上， 这个平面称为曲面在点M 的切平面. 它们在