天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十二章 微分方程（12.3）齐次方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第三节齐次方程 齐次方程 二、可化为齐次的方程 、小结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 齐次方程 一、齐次方程 二、可化为齐次的方程 三、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、齐次方程 1定义形如可=f()的微分方程称为齐次方程 2,解法作变量代换u=,即y=x, 女4+ dx 代入原式u+x=f(a 即d=f(a)- d x 可分离变量的方程 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy  = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义 一、齐次方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 当f()-≠0时,得 du =InCr, f(u)-u 即x=Cc,(g(a)=∫ du P( 将u=代入,得通解x=Ce 当彐n,使f(u0)-ln=0,则a=是新方程的解 代回原方程,得齐次方程的解y=nx tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当 f (u) − u  0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得  , (u) x Ce 即 =  − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce  得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o dy 小 例1求解微分方程y2+x ry d 解原方程可写成 d xe 令:少=,则=xn+ut, u+r 即 L d x u-1 变量分离,得 两端积分得xud=通解为h=+C tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 求解微分方程 解 原方程可写成 dx dy xy dx dy y + x = 2 2 令： u, x y = 则dy = xdu + udx， 1 2 − + = u u dx du u x 即 −1 = u u dx du x 变量分离，得 x dx du u  =      − 1 1 两端积分得 ln xu = u 通解为 C x y ln y = + 1 2 2 2 −       = − = x y x y xy x y dx dy

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴a轴 光源在(0,0),L:y=y(x) 设M(x,y)为L上任一点,M R MT为切线斜率为y, MN为法线,斜率为 L ∵∠OMN=∠NMR, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为L上任一点， MT为切线, 斜率为 y , , 1 , y MN  为法线 斜率为− OMN = NMR

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o tan∠OMN=tan∠NMR, y 由夹 R 角正/an∠ON=y x切公 式得 tn∠NMR=t 得微分方程 yy2+2xy-y=0,即y=-±,()2+1 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics            =  − −  −  = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 2 0, 2 yy + xy − y = 得微分方程 ( ) 1. 2  = −  + y x y x 即 y tanOMN = tanNMR, 由夹 角正 切公 式得 x y o M T N R L

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 令=,得u+x d-1±√1+u u L 分离变量 (1+u2)±+/ 令1+u2=t2, t(t±1)x 积分得ln±1=n,即√2+1 ±1, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x −  + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − +  + 令1+ u 2 = t 2 ， , ( 1) x dx t t tdt = −  积分得 ln 1 ln , x C t  = 1 1, 2 + =  x C 即 u

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 平方化简得u C 2C 抛物线 代回n=,得y2=2C(x+ 2 所求旋转轴为o轴的旋转抛物面方程为 y+z2=2C(x￥2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 平方化简得 , 2 2 2 2 x C x C u = + 代回 , 得 x y u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、可化为齐次的方程 1定义形如=f( ax+ by+c )的微分方程 dx a,x+b,y+C 当c=c1=0时,为齐次方程否则为非齐次方程 2解法令x=X+h,(其中h和k是待定的常数) y=r+k, dx=dx, dy=dy dr f∫( aX+br+ah+bk +c dx a,X+b,r+ah+b,k+C tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、可化为齐次的方程 形 如 ( )的微分方程 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + = 0 , 为齐次方程. 当c = c1 = 时 ， 令 y Y k x X h = + = + , （其中h和k是待定的常数） dx = dX, dy = dY 否则为非齐次方程. ( ) 1 1 1 1 1 a X b Y a h b k c aX bY ah bk c f dX dY + + + + + + + + = 2.解法 1.定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o ah +bk +C=0, a1h+b1k+c1=0, (1)△ s/e ≠0,有唯一一组解 dr aX+by X=x-h 得通解代回 dX GX+b,y lr=y-k (2)△=0,未必有解,上述方法不能用 当b1=0时,a1与b中必至少有一个为零 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics    + + = + + = 0, 0, 1 1 1 a h b k c ah bk c (1) 0, 1 1  =  a b a b 有唯一一组解. ( ) a1X b1Y aX bY f dX dY + + = 得通解代回    = − = − Y y k， X x h, (2)  = 0, 未必有解, 上述方法不能用. 0 , 当b1 = 时 . a1与b中必至少有一个为零