天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.1）对弧长的曲线积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 第二节对坐标的曲线积分 第三节格林公式 第四节对面积的曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 第六节高斯公式通量与散度 第七节斯托克斯公式环流量与旋度 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 通量与散度 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节对弧长的曲线积分 、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 、小结 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 三、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 对弧长的曲线积分的概念与性质 B 实例:曲线形构件的质量 L M 匀质之质量M=ps (5,m)/M M 分割M1,M2…,Mn1>△;, A M 取(5;,mn)∈As,△M≈p(5,m),△s 近似值」 求和M≈∑p(5,m)△s 精确值 取极限M=lim∑p(5,n)△s tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 实例: 曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , )  i i L 匀质之质量 M =   s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s  − ( , ) , i i i 取    s ( , ) . i i i i M      s 求和 ( , ) . 1 =    n i i i i M    s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → =   n i i i i M    s  近似值 精确值 一、对弧长的曲线积分的概念与性质

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为,又(5,m)为第 i个小段上任意取定的点, B 作乘积(51,m)△, L M (5,m)M 并作和∑f(5,m)As, M i=1 M tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = −      n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y       并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段 设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数  1. 定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i  L

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果当各小弧段的长度的最大值λ→Q时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作[f(x,y),即 积分和式 被积函数 f(x,y)=m2f(5,n)△ i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=[p(x,y)bs tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1  0  = → =      → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) .  = L M  x y ds

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.存在条件: 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分 l2f(x,y)存在 3.推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为 (xy3=lm∑/(5ny5)△5 tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 对弧长的曲线积分 L f x y ds f x y L 3.推广: 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds =  f  s  =  →    

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意 1.若L(或T是分段光滑的,(L=L1+L2) .f(x)=⊥(x,+f(x,y 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分达 f(x, y)ds. tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2    = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds 函 数f x y 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 4.性质 (1).If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,(x,y)d (2J6(,y)=kf(x,)(为常数 (3), /(x, y)ds=L f(x,y)ds+l,f(,y)ds (L=L1+L2) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .     =  L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、对弧长的曲线积分的计算法 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数 方程为x=yO (a≤t≤B)其中q(t,y(t)在a,B上 y=y(t), 具有一阶连续导数,且 「fxy)h=19(y0g(0+yd (a<B) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) [ , ] ( ), ( ), ( , ) , 2 2                  =  +       = =   f x y ds f t t t t dt t t t y t x t f x y L L L 具有一阶连续导数 且 方程为 其 中 在 上 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数 二、对弧长的曲线积分的计算法

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限6 2.f(x,y)中x,y不彼此独立而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. f(x, y)ds=fIx,v(x)l1+y(x)dx. (a<b) tianjin Polytechnic univerity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a  x  b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a =  + (a  b)