天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.6）高斯公式 通量与散度

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节高斯公式通量与散度 高斯公式 二、简单应用 三、物理意义—通量与散度 四、总结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 高斯公式 通量与散度 一、 高斯公式 二、 简单应用 三、 物理意义——通量与散度 四、 总结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、高斯公式 设空间闭区域9由分片光滑的闭曲面Σ围成函数P(x,y,z) Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω2上具有一阶连续偏导数,则有公式 aP 00 OR +a+o)dv=H Prydz+odzdx+ rdxdy 或 aP 80 OR +o)dv=H(cos a+@cosB+ Rcos y)ds ax ay az tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x, y,z)、 Q(x, y,z)、R(x, y,z)在上具有一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 dv P Q R dS z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +      或

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 这里∑是的整个边界曲面的外侧,C0sa,C0s月,c0sy是 ∑上点(x,y,x)处的法向量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xOy 上的投影区域为D Σ由Σ,∑和∑三部分组成, Σ1.z=x1(x,y ∑2z=z2(x,y) O D tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 这里是的整个边界曲面的外侧，cos,cos ,cos 是 上点(x, y,z)处的法向量的方向余弦. 证明 设闭区域在面xoy 上的投影区域为Dxy. x y z o 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3  1 2 3 Dxy

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 根据三重积分的计算法 th=小 Z2(,)OR JJIRLx, y,Z2(x,D)I-R[x, J,u,(x,D)I)drdy 根据曲面积分的计算法 Σ取下侧,Σ2取上侧,∑3取外侧) R(x, y, z)dxdy Rx,,4,(x, y)]dxdy, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy (1取下侧, 2取上侧, 3 取外侧)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o ∫R(x,y,2kd=』x,(x,yjrn R(x,y, z)dxdy=0. 于是』R(x,)d (RIx,y, 2(x, y)-Rx, v, ( x, y)ldxdy, OR dv=HR(x, y, z )dxdy tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2   =  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy   于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 =   R x y z dxdy( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 同理 op dv=f P(x, , 2) dydz, ∑ 00 ∫9g(x,)h ∑ 和并以上三式得: aP 00 aR 的+2+)h=Ph+a+Rh ∑ 高斯公式 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( , , ) ,     =   dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) ,     =   dv Q x y z dzdx y Q     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 由两类曲面积分之间的关系知 ++-)dh ax a (Pcos a+2 cos B+Rcos r )ds. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上 的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 简单的应用 例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中Σ为柱面x2+y2=1及平 面乙=0,=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0 x R=x-y, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o aP Q aR =y-3 az 原式=(y-d (利用柱面坐标得) (rsin 8-zrdrdedz y 9兀 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P   原式 = ( y − z)dxdydz   = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3    =   −  3 0 1 0 2 0 d dr r(sin z)rdz

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧