天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.2）对坐标的曲线积分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第二节对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 、两类曲线积分之间的联系 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 对坐标的曲线积分的概念与性质 实例:变力沿曲线所作的功 B L:A→>B, M L F(,y)=P(x, y)i+e(x, y)j M M 常力所作的功W=F.AB 分割A=Mn,M(x,y)…,M、(x1,yn),Mn=B M1M1=(Ax1)i+(4y;)j 7iauie Palytecaeie Maiden uiy M ta

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 xi i y 实例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  W = F  AB. 一、对坐标的曲线积分的概念与性质

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 取F(;;)=P(5,m)+Q(号,m), F(5;,2) y △W≈F(5;,mh)M=1M1 即△W1≈P(5,m)Ax1+Q(5,m)y 求和W=∑△W 近似值 ≈∑P,mn)△x+Q(51,m)·4y i=1 取极限W=lim∑P6,m)△x,+Q(5,m)4y 精确值 tianjin Polytechic lmiwendity Nww

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 =    +   n i i i i i i i P   x Q   y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → =   +   n i i i i i i i W P   x Q   y  近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y = =  n i W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 1.定义: 设L为x0y面内从点4到点B的一条有向光滑曲线弧函数P(x,y) Q(x,y)在L上有界用L上的点M1(x1,yM2(x2,y2),…,Mn1(xn1,yn) 把L分成n个有向小弧段M,1M1(i=1,2,…,m;M0=A,Mn=B) 设Ax1=x1-x1,Ay1=y1-y1,点(点,m)为M1M1上任意取定的点 如果当各小弧段长度饅最大值λ→时,∑P(5,n)Δ极限存在 则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分或称第二类 曲线积分),记作 「P(x)=im∑P,m)△ tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 , , , ( , ) . ( 1,2, , ; , ). ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ) , ( , ), 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 如果当各小弧段长度的最大值 时 设 点 为 上任意取定的点 把 分 成 个有向小弧段 在 上有界 用 上的点 设 为 面内从点 到 点 的一条有向光滑曲线弧 函 数 →  = −  = − = = = − − − − − − −  i i i i i i  i i i i i i n n n n x x x y y y M M L n M M i n M A M B Q x y L L M x y M x y M x y L xoy A B P x y   1.定义 ： ( , ) lim ( , ) . , ( , ) ( 1 0 i i n i i L P x y dx P x P x y L x =    = →    曲线积分）记 作 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分或称第二类 ( , ) , 1  的极限存在 =  n i P  i i xi

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 类似地定义 「Qxy)=1∑5,Ay 其中P(x,y),Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y  = →    其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.存在条件: 当P(x,y,Q(x,y)在光滑曲线弧L上连续时第二类曲线积分存在 3.组合形式: 「P(x,lk+(x,y)d JPx)+xy)F函 其中F=P+,d=dxi+d!y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.存在条件： 当P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 第二类曲线积分存在. 3.组合形式：    = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj.      其中 = + = + .  =  L F ds 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 4.推广: 空间有向曲线弧rPax+Q+R P(x,y,2)dx=lim P(Si mi,5:)Ax, →0 =」 「Q(x,y,x)=lm∑Q(51,n, 入→0 R(x,y,x)k=im∑R(31,n,)△x7 →0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 4.推广： 空间有向曲线弧  ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x  =  →     .  Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q    y  =  → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R    z  =  →

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 5.性质 (1)如果把L分成L和L2,则 P+Q小=,Pd+g!+,P+Q小 (2)设L是有向曲线弧-L是与方向相反的有向曲线弧则 ∫.P(x,pydt+(x,y)=P(x,y+(x,y 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 5.性质 . (1) , 1 2 1 2    + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分 成L 和L 则 (2) 设L是有向曲线弧,−L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.  + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理 设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧上有定义且连续L的参数方程 为 x=o(t), ly=v(t), 当参数单调地由a变到时时,点M(x,y)从L的起点4沿L 运动到终点B,p(t),y()在以a及为端点的闭区间上具有一阶连续 导数且q(O+y(00则曲线积分P(xy)d+(x)存在 且 L, P(, y)dx+e(, y)dy =P9y)(gyyo tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , ( ) ( ) 0, ( , ) ( , ) , , ( ), ( ) , ( , ) ( ), ( ), ( , ), ( , ) , 导 数 且 2 2 则曲线积分 存 在 运动到终点 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续 为 当参数 单调地由 变 到 时 点 从 的起点 沿 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程   +   +    = = L t t P x y dx Q x y dy B t t t M x y L A L y t x t P x y Q x y L L           定理 二、对坐标的曲线积分的计算法 P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , )         =  +  +   且

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b 则∫Pdx+gd=Px,y(x)+Qxy(x)(x) (2)L:x=x(y)火起点为c,终点为d d 则「Pd+c={Px(y)yx(y)+Qx(功),用小 x=q() (3)推广r:y=v(),起点a,终点B Z=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = +  (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + =  + , , . ( ) ( ) ( ) (3) :      推广 t起点 终点 z t y t x t      = = = 