天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十一章 无穷级数（11.5）函数的幂级数展开式的应用

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节函数的幂级数展开式的应用 近似计算 二、欧拉公式 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 近似计算 A=a1+a2+…+an+…, A≈a1+a2+…+an, 误差n=an+1+an+2+… 两类问题: 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 关健:通过估计余项确定精度或项数 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ,  A = a1 + a2 ++ an + ,  A  a1 + a2 ++ an . rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 一、近似计算 误差

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和 例1计算的已近似值使其误差不超过105 解 ·ex=1+x+-x2+…+-xn+ 2! n 令x=1,得e≈1+1++…+ tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 解 , ! 1 2! 1 1  x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e  + + ++ 10 . -5 例1 计算的 e 近似值,使其误差不超过

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 余和: ≈ (n+1)!(n+2) (n+1)!n+2 (1+ (n+1)! +1(n+1)2 n·n 欲使r≤103,只要 10 n· nn!≥105,而88!=322560>105, e≈1+1+++…+≈271828 2!3 8! tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 余和: + + + +  ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + +  n n n ! 1 n n = 10 , -5 欲使 rn  10 , ! 1 -5  n n 只要 ! 10 , 5 即n n  8 8! 322560 10 , 5 而  =  8! 1 3! 1 2! 1 e  1+ 1+ + ++  2.71828

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2计算5240的近似值,要求误差不超过.000 解因为 240=243-3=301-1y 在二项式展开中取m1 5 ,即得 /240=3(1 111.411.491 53452.2!3853.3!312 取前两项得和作为240的近似值,其误差(截断误差) 为 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过0.0001。 解 因为 ) , 3 1 240 243 3 3(1 5 1 4 5 5 = - = - 在二项式展开中取 , 3 1 , 5 1 4 m = x = - 即得 ) 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3 1 5 1 240 3(1 4 2 8 3 1 2 5  -     -   = -  - 取前两项得和作为 5 240 的近似值，其误差（截断误差） 为

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 1.411.4.911·4.9·141 z=3( 52.2!3853.3!31254.4!3 141 <3 52·2,3 8181 < 253 125.27.4020000 81 所以近似值为 40≈3(1 )≈29926 53 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics r2 = ) 3 1 5 4! 1 4 9 14 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3( 2 8 3 1 2 4  1 6 +      +     +   ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2  8 + + +     20000 1 25 27 40 1 81 1 1 1 3 1 25 6 8    = - =   所以近似值为 ) 2.9926 3 1 5 1 240 3(1 4 5  -  

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3利用sinx≈x- 计算sin9"的近似值, 3! 并估计误差 解 sin 9= sin 2020620 1 < 5!20120 300000 <10-5 ∴sin9≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过103 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x  x - 解 20 sin9 sin 0  = ) , 20 ( 6 1 20   3  - 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  300000 1  10 , -5  sin9 0.157079 0.000646 0   -  0.156433 其误差不超过 . 5 10-

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 计算定积分 例如函数e-,sinx1 ,原函数不能用初等 nx 函数表示,难以计算其定积分 解法 被积函数 定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 计算定积分 , . , ln 1 , sin , 2 函数表示 难以计算其定积分 例如函数 原函数不能用初等 x x x e - x 解法 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4计算 I sinx dkc的近似值,精确到10 解 sIn =1--x2+-x x∈(-0,+0 7! SiNx d x=1 NO X 3·3!5·5!77! 收敛的交错级数 第四项 <10-4 7·7!3000 取前三项作为积分的近似值得 I sInx dx≈1 ≈0.9461 33!5·5! tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四项 3000 1 7 7! 1   10 , -4  取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0  +   -  dx x x  0.9461 例4 , 10 . sin 4 1 0 - 计算  dx的近似值 精确到 x x  = - 2 + 4 - 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x 解 x x(-,+) +  -  +  = -  7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、欧拉公式 复数项级数: (1+jv1)+{2+jn2)+…+(un+jn)+ 其中un,vn(n=1,2,3,为实常数或实函数 若a=∑,"=∑"n n-=1 H=1 则称级数un+in收敛,且其和为l+i tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、欧拉公式    =  = = = 1 1 , n n n n u u v v n n n u + iv  =1 复数项级数: (u1 + jv1 ) + (u2 + jv2 ) ++ (un + jvn ) + 其中 un ,vn (n = 1,2,3,)为实常数或实函数 则称级数 收敛, 且其和为 若 u+ iv