天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.8）多元函数的极值及求法

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第八节多元函数的极值及求法 、多元函数的极值与最值 、条件极值拉格朗日乘数法 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 多元函数的极值及求法 二、条件极值拉格朗日乘数法 一、多元函数的极值与最值

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(xn,y)的某邻域 内有定义,对于该邻域内异于(x0,y)的点(x,y) 若满足不等式f(x,y)f(x0,y0) 则称函数在(x0,y0)有极小值; 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1、二元函数极值的定义 一、多元函数的极值和最值 设函数 z = f ( x , y ) 在点( , ) 0 0 x y 的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于 的点 ( x , y ) 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y 则称函数在 ( , ) 0 0 x y 有极小值； 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 ( , ) 0 0 x y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1函数 z=3x2+4y 在(0,0)处有极小值 (1) 例2函数z=-x2+y2 在(0,0)处有极大值 例3函数z=xy (3) 在(0,0)处无极值 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = - x + y 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=∫(x,y)在点(x0,)具有偏导数,且 在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:f(x0,y0)=0,f,(x0,y0)=0 证不妨设z=f(x,y)在点(x0,y)处有极大值, 则对于(x0,y0)的某邻域内任意 (x,y)≠(x0,y)都有f(x,y)<f(x0,y0) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、多元函数取得极值的条件 (x, y) ( , ) 0 0 x y 证 不妨设 定理1 （必要条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在点 ( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： ( , ) 0 0 0 f x y = x ， ( , ) 0 0 0 f x y = y . z = f ( x , y )在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 都有 f ( x , y ) < ( , ) 0 0 f x y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 故当y=y,x≠x0时,有f(x,y)<∫(x,y0) 说明一元函数f(x,y)在x=x0处有极大值 必有fx(x0,y)=0; 类似地可证f(x0,y0)=0 推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y0,) 具有偏导数,则它在P(x0,y,z)有极值的必要条 件为 f(xo, yo, 40)=0, f(xo,yo, 0)=0 f(x, 09y0940 )=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数 u = f (x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， fz (x0 , y0 ,z0 ) = 0. 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x x0 = 处有极大值, 必有 ( , ) 0 0 0 f x y = x ; 故当 0 y = y ， x x0  时，有 ( , ) < 0 f x y ( , ) 0 0 f x y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点, 均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数z=x的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例如, 点 (0,0 )是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点. 定理2（充分条件） 设函数 z = f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 又2(x0,J0)=0,了(x0,”0)=0, 令∫x(x0,y0)=A,J(x0,y0)=B, 则∫(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B>0时具有极值, 当A0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC=B=0时可能有极值,也可能没有极值, 还需另作讨论. tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 又 ( , ) 0 0 0 f x y = x , ( , ) 0 0 0 f x y = y ， 令 f x y A xx ( , ) = 0 0 ， f x y B xy ( , ) = 0 0 ， f x y C yy ( , ) = 0 0 ， 则 f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC - B > 时具有极值， 当 A 0时有极小值； （2） 0 2 AC - B < 时没有极值； （3） 0 2 AC - B = 时可能有极值, 也可能没有极值， 还需另作讨论．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4求函数∫(X,y)=x-y+3x2+3y2-9x 的极值 解先解方程组 ∫f:(x,y)=3x2+6x-9=0 f,(x,y)=-3y2+6y=0, 求得驻点为 (1,O)、(1,2)、(-3,0)(-3,2) 将上方程组再分别对x,求偏导数, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 f (x, y) x y 3x 3y 9x 3 3 2 2 = - + + -     = - + = = + - = ( , ) 3 6 0, ( , ) 3 6 9 0, 2 2 f x y y y f x y x x y x (1,0)、(1,2)、(-3，0)、(-3，2) 例4 求函数 的极值 先解方程组 求得驻点为 将上方程组再分别对 x , y 求偏导数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o ∫-(x,y)=6x+6,J(x,y)=0, f(x,y)=-6y+6 在点(1,2)处,AC-B2=126>0,又A>0, 所以函数在(1,0)处有极小值∫(1,0)=-5; 在点(,2)处,AC-B2=12(-6)<0,所以f(1,2) 不是极值; 在点(-30)处,AC-B2=-126<0,所以f(-3,0) 不是极值; tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f yy (x, y) = -6 y + 6 (1,0) 12 6 0, 2 AC - B =  > A > 0, f (1,0) = -5; 在点 (1,2) 处， 又 所以函数在 处有极小值 (1,2) 12 6 0, 2 AC - B = -  < 12 ( 6) 0, 2 AC - B =  - < f (1,2) f (-3,0) (-3,0) 在点 处， 所以 不是极值； 在点 处， 所以 不是极值；

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 在点(-3,2)处,AC-B2=-126>0,又 A<0,所以函数在(-3,2)处有极大值 ∫(-3,2)=31 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 12 6 0, 2 AC - B = -  > A < 0, 在点 (-3,2) 处， 又 所以函数在 (-3,2) 处有极大值 f (-3,2) = 31