天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 导数与微分（2.3）高阶导数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节高阶导数 1如果y=f(x)的导数存在,称为y=f(x)的二阶导数 或 d dy 记作)dx2如() 2.y仍是x的函数,还可以进一步考虑 3 有三阶导数ym或, d x 四阶导数p/4)或ay d x n阶导数y或“y d x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 高阶导数 1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 y f (x) y = f (x)  =  2 2 dx d y ( ) dx dy dx d y  2. y  仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 . y  3 3 dx d y (4) y 4 4 dx d y (n) y n n dx d y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3f(x)在x处有m阶价导数,那么fm1(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于m阶的导数;二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 4问题:如何求函数的高阶导数? 步一步来,利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 例1y=ax+b,求y 解y=a,y"=0 例2s=sino,求s 解S=0cosa,"=-o2sinr

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 ( ) ( 1) f x n− 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 解 y  = a, y  = 0 例1 y=ax+b, 求 y  例2 s = sint, 求 s  解 s cost,s  sint 2  =  = −

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3证明:函数y=V2x-x2满足关系式 yy 证将y=V2x-x2求导,得 2-2x 1-x 2 2r-x 2x-x 2-2x Vx-x2-(1-x) V2r-x 2x-x 2 2 2x+x2-(1-x) (2x-x)2√2x-x2 (2x-x2)2y

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 证明:函数 y = 2x − x 2 满足关系式 1 0 3 y y  + = 证 将 y = 2x − x 2 求导,得 , 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − −  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − −  = 3 2 2 2 2 2 1 (2 ) 1 (2 ) 2 2 (1 ) 2 3 x x y x x x x x x x = − − = − − − − + − − =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 于是 yy"+1=0 下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4求指数函数y=e的m阶导数 解 般地,可得 即 x\(n e 例5求正弦与余弦函数的n阶导数

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 于是 1 0 3 y y  + = 下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4 求指数函数 的n阶导数 x y = e 解 x x x x y  = e y  = e y  = e y = e (4) , , , 一般地,可得 , (n) x y = e 即 x n x e = e ( ) ( ) 例5 求正弦与余弦函数的n阶导数

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 y=sinx =cOSx=sin(x+ 元 元兀 y=cos(x+=sin(x+-+ 22 sin(x+2.7 元 y"=c0s(x+2·)=sin(x+3·), J=cos(x+3.分 兀、 )=sin(x+4·) 般地,可得 y=sin(x+n·) (sin x)y=cos(x+n

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 y = sin x, ), 2 cos sin(  y  = x = x + ) 2 2 ) sin( 2 cos(    y  = x + = x + + ), 2 sin( 2  = x +  ), 2 ) sin( 3 2 cos( 2   y  = x +  = x +  ), 2 ) sin( 4 2 cos( 3 (4)   y = x +  = x +  一般地,可得 ), 2 sin( ( )  y = x + n n 即 ). 2 (sin ) cos( ( )  x = x + n n

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 用类似方法,可得 (cosx)")=cos(x+n·) 例6求对数函数ln(1+x)的n阶导数 解y =ln(1+x),y1+x 1·2 1·2·3 1+x) (1+x) n 般地,可得y=(-1) (1+x) 即 (+xy=(-1y-1(n-) 1+x) 通常规定0!=1,所以这个公式当n1时也成立

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 用类似方法,可得 ). 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n n 例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数 解 , 1 1 ln(1 ), x y x y + = +  = , (1 ) 1 2 3 , (1 ) 1 2 , (1 ) 1 4 (4) 2 3 x y x y x y +   = − +   = +  = − 一般地,可得 , (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 n n n x n y + − = − − 即   n n n x n x (1 ) ( 1)! ln(1 ) ( 1) ( ) 1 + − + = − − 通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例7求幂级数的n阶导数公式 解设y=x2(a∈R,那么 c y=(ox ) =a(a-l)x y"=(a(0-1)x-2)y=a(0-1)(a-2)x 般地,可得 p)=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)x2n 即(x2))=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)x 若a为自然数,则 y"=(x n)(n) n:, y (n+1) (n!)=0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例7 求幂级数的n阶导数公式 解 y = x (  R), 设  那么 −1 y = x ( ) 1  =   − y x 2 ( 1) − =   − x ( ( 1) ) 2  =   −  − y x 3 ( 1)( 2) − =   −  − x n n y n x − = − − − +  ( 1)( 2) ( 1) ( )  一般地,可得 即 n n x n x − = − − − +   ( ) ( 1)( 2) ( 1) ( )  若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) =  + y n n = 0

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 高阶导数运算法则 设函数和具有n阶导数,则 1)(u±p))=()±p (2)(Cn)()=Cn (3)(v) (n) nIn =uy+nuy+ (n-2)。P u n(n-1)…(n-k+1) (n-k)3,(k) 1+…+Lv k! ∑Cn (3)称为莱布尼兹公式

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 高阶导数运算法则 ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu 设函数u和v具有n阶导数,则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u  v = u  v ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − =  + + − − + +  −  = +  +   (3)称为莱布尼兹公式

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例8设y=x2e2,求y20) 解设u=c 2x y x2,则 u (k) k 2x 2 (k=1,2,20) v'=2x,v"=2,v)=0k=3,4,…20 代入莱布尼茨公式,得 y2)=(2)2).x2+20(c2)0.(x2 20(20-1)n2x)(.2 (x2)"+0 0202 20·19 e4·x2+20·2e2x.2x+ 2 182x 2 2! =2e(x2+20x+95) 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例8 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2x ,v = x 2 ,则 2 , 2, 0( 3,4, 20), 2 ( ) ( ) 2  =  = = =  = v x v v k u e k k k x (k = 1,2, 20) 代入莱布尼茨公式,得 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2   + − + =  +   e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 20 2 2 19 2 18 2   =  +   + x x x e x e x e 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x 返回