天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.1）微分中值定理

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理 第二节洛必达法则 第三节泰勒公式 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节函数的极值与最大值最小值 第六节函数图形的描绘 第七节曲率

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 曲率 第六节 函数图形的描绘 第五节 函数的极值与最大值最小值

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节微分中值定理 罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 、柯西中值定理 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、罗尔(Ro1le)定理 费马引理设函数f(x)在点x的某领域u(x)内有定义,并且 在x处可导,如果对任意的x∈u(x0),有 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x0) 那么∫(x0)=0 证不妨设x∈u(x)时,f(x)≤∫(x)(如果f(x)≥∫(x0) 可类似的证明).于是,对于x0+△x∈u(x),有 f(x0+△x)≤f(x) 从而当∧飞>0时, f∫(x0+△)-f(x0) 0 △v 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2004-4-10 一、罗尔(Rolle)定理 0 x ( ) 0 u x 0 x 费马引理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且 在 处可导，如果对任意的 x  u(x0 ) ，有 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 0 x0 f x  f x 或f x  f 那么 f (x0 ) = 0 证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有 ( ) x  u x0 ( ) ( ) x0 f x  f ( ) ( ) x0 f x  f ( ) x0 + xu x0 ( ) ( ) 0 x0 f x + x  f 从而当 x  0 时， 0; ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 当△v0 △x f(o)=f(xo)=lim Y(o+Ax-f(xz0 △x→>0 △ 所以f(x)=0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当 x  0 时 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   +  −  =  =   +  −  =  = − +  → −  → + x f x x f x f x f x x f x x f x f x f x x x 0; ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x 根据函数f (x)在 x0 可导的条件极限的保号性，便得到 所以 f (x0 ) = 0

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 罗尔(Roll)定理如果函数 1)f(x)在闭区间[{a,b上连续 (2)在开区间(a,b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在 (a,b)内至少有一点(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点 的导数等于零, 即f(2)=0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 罗尔（Rolle）定理 如果函数 (1) f (x)在闭区间 [a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在 (a,b)内至少有一点(a    b),使得函数 f (x)在该点 的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f  =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3连续在(-1,3)上可导且f(-1)=f(3)=0 ∵∫(x)=2(x-1), 取ξ=1,(1∈(-1,3))∫()=0. 几何解释 y 在曲线弧AB上至少有 C 点C,在该点处的切线是 J 水平的 51 abx 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何解释: a 1  2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0.  f (x) = 2(x −1), 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证∵f(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得f(x)=0.Vξ∈(a,b),都有∫(2)=0 (2)若M≠m ∵∫(a)=∫(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点使∫(4)=M f∫(+△x)≤∫(ξ), ∫(ξ+△x)-∫(2)≤0, 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 (1) 若 M = m.  f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0.  (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M  m.  f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M  f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M.  f ( + x)  f (),  f ( + x) − f ()  0, 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 若Ax>0,则有f(5+△x)-f() ≤0; △ 若Ax+0 △v ∫(5)=f(5)∴只有∫'(2)=0 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 若 x  0, 0; ( ) ( )    +  −  x f x f 则有 若 x  0, 0; ( ) ( )    +  −  x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0    +  −     =  →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0    +  −    =  →+ + x f x f f x  f ()存在, () (). − +  f  = f  只有 f () = 0. 2004-4-10

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于罗尔定理的几点说明 1)罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的 例f(x)=x3(-1≤x≤1 上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不 是必要条件. sinx,0<x≤兀 例f(x)= x=0 2)罗尔定理的结论中ξ不是唯一的 3)将罗尔定理的条件1.2换为[a,6上可导,结论仍成立 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) ( 1 1) 3 2 例 f x = x −  x  例    =   = 1 , 0 sin , 0 ( ) x x x f x  上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不 是必要条件. 2) 罗尔定理的结论中不是唯一的. 1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的. 关于罗尔定理的几点说明 3) 将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立. 2004-4-10