天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用（6.1）定积分的元素法

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 第二节定积分在几何学上的应用 第三节定积分在物理学上的应用

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节定积分的元素法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线y y=∫(x) y=f(x)(f(x)≥0)、C轴 与两条直线r=a、x=b b x 所围成 A=f(r)do

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x)  0)、x轴 与两条直线x = a、x = b 所围成. a b x y o y = f (x) 第一节 定积分的元素法

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 面积表示为定积分的步骤如下: Ⅺ无法显示该图片。 (1)把区间[a,b分成n个长度为△x的小区间,相 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第个小窄 曲边梯形的面积为△A,则A=∑△A (2)计算△4的近似值 △41≈f(9Ax15∈ (3)求和,得的近使值才∑f结

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 面积表示为定积分的步骤如下: （ n . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A  f ( )  i xi （3）求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x =  i 1）把区间[a,b]分成 个长度为 的小区间，相 应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第 个小窄 曲边梯形的面积为 = = n i Ai A 1 Ai , 则 i x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (4)求极限,得A的精确值 A= limf(5)△x=f(x)t 提示若用△4表示任一小区间 x,X+△x]上的窄曲边梯形的面积,则 y=∫(x A=∑△,并取△A≈/(x),于 是A≈∑f(x)dx dA A=im∑f)△x=f(xt a x+abx →0 面积元素

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y 提示 （4） 求极限，得A的精确值  = b a i i f (x)dx n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   a x x + dx o b x y = f (x) 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积，则 A = A，并取A  f (x)dx，于 是 A   f (x)dx ( ) .  = b a f x dx i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   dA 面积元素

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 当所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的 量 (2)U对于区间[a,6具有可加性,就是说,如 果把区间[a,b分成许多部分区间,则U相应地 分成许多部分量,而U等于所有部分量之和; (3)部分量△U的近似值可表示为f()△x; 就可以考虑用定积分来表达这个量U

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当所求量U符合下列条件： （1）U 是与一个变量 x的变化区间 a,b 有关的 量； （2）U 对于区间 a,b 具有可加性，就是说，如 果把区间 a,b 分成许多部分区间，则 U 相应地 分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 U ．

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积 分变量,并确定它的变化区间[a,b; 2)设想把区间[a,b分成n个小区间,取其中任 小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部 分量△U的近似值.如果△U能近似地表示为[a,b 上的一个连续函数在x处的值f(x)与dc的乘积, 就把f(x)x称为量U的元素且记作U,即 du=f(r)dc

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x为积 分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为 [x, x + dx]，求出相应于这小区间的部 分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在 x处的值 f (x)与 dx的乘积， 就把 f (x)dx称为量 U 的元素且记作dU，即 dU = f (x)dx；

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3)以所求量U的元素f(x)x为被积表达式,在区间 上作定积分,得U=/f(x)c 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压 力;引力和平均值等. 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3）以所求量U的元素 f (x)dx为被积表达式，在区间 [a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量 U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压 力；引力和平均值等． 返回